APMC 2004

Dag 1

Vraag 1

Zij $S(n)$ de som van de cijfers van een getal in zijn decimale representatie. Stel
$$N=\sum_{k=10^{2003}}^{10^{2004}-1}S(k).$$
Bepaal $S(N)$.

Vraag 2

In een driehoek $ABC$ is $D$ het snijpunt van de bissectrice $\angle ACB$ en $AB$. Als $S$ de oppervlakte van de driehoek voorstelt, bewijs dan dat
$$2S\left(\frac1{AD}-\frac1{BD}\right)\leq AB.$$

Vraag 3

Los het volgende stelsel op in reële getallen (vierkantswortels zijn positief):
$$\left\{\begin{array}la-\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-c^2}=d\\ b-\sqrt{1-c^2}+\sqrt{1-d^2}=a\\ c-\sqrt{1-d^2}+\sqrt{1-a^2}=b\\ d-\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}=c.\end{array}$$

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal alle natuurlijke getallen $n$ waarvoor $n^{10}+n^5+1$ een priemgetal is.

Vraag 2

Bepaal alle natuurlijke getallen $n$ zodat het stelsel van vergelijkingen
$$\left\{\begin{array}lx_1+x_2+\cdots+x_n=27\\\displaystyle{x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n=\left(\frac32\right)^{24}}\end{array}$$
positieve reële oplossingen heeft.

Vraag 3

Bewijs dat er een permutatie $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ bestaat van de elementen $\{1,...,n\}$ met $n$ een natuurlijke macht van 2, zodat voor alle $1\leq i

Dag 3

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal alle functies $f\{1,2,\ldots\}\rightarrow\mathbb Z$ die voldoen aan $f(x+y)=f(x+1)+f(y+1)$ voor alle onderling ondeelbare $x,y\in\{1,2,\ldots\}$.

Vraag 2

(i) Bewijs: voor $n=4$ of $n\geq6$ kan iedere driehoek $ABC$ gesplitst worden in $n$ driehoeken die gelijkvormig zijn (niet noodzakelijk congruent) met $ABC$.
(ii) Bewijs: Een gelijkzijdige driehoek kan noch in 3, noch in 5 gelijkzijdige driehoeken gesplitst worden.
(iii) Bestaat er een driehoej $ABC$ die zowel in drie als in vijf gelijkvormige driehoeken kan gesplitst worden? Specifieer zo'n driehoek of toon aan dat er geen bestaat.

Vraag 3

Gegeven zijn de tweezijdige rijen
$$<\ldots,a_{-2},a_{-1},a_0,a_1,a_2,\ldots>,<\ldots,b_{-2},b_{-1},b_0,b_1,b_2 ,\ldots>,<\ldots,c_{-2},c_{-1},c_0,c_1,c_2,\ldots>$$
van positieve reële getallen. Voor ieder natuurlijk getal $n$ gelden de volgende ongelijkheden:
$$a_n\geq\frac12(b_{n+1}+c_{n-1})$$
$$b_n\geq\frac12(c_{n+1}+a_{n-1})$$
$$c_n\geq\frac12(a_{n+1}+b_{n-1}).$$
Bepaal $a_{2005},b_{2005},c_{2005}$ als $a_0=26,b_0=6,c_0=2004$.

Vraag 4

Voor iedere veelterm $Q(x)$ noteren we met $M(Q)$ de verzameling van de natuurlijke getallen $x$ zodat $0 Voor iedere $n=3^k$, bepaal:
(i) $m_n$, die het maximum aantal elementen van $M(P_n)$ voorstelt voor alle veeltermen $P_n(x)$.
(ii) alle veeltermen $P_n(x)$ waarvoor $|M(P_n)|=m_n$.