APMC 1998
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Zij $x_1,x_2,y_1,y_2$ reële getallen zodat $x_1^2+x_2^2\leq1$. Bewijs dat
$$(x_1y_1+x_2y_2-1)^2\geq(x_1^2+x_2^2-1)(y_1^2+y_2^2-1).$$
Vraag 2
Beschouw $n$ punten $P_1,P_2,\ldots,P_n$ die in die volgorde op een rechte liggen. We kleuren elk van deze $n$ punten in het wit, rood, groen, blauw of paars. Een kleuring wordt toelaatbaar genoemd als voor elke twee opeenvolgende punten geldt dat ze dezelfde kleur hebben, ofwel dat op zijn minst één van de twee wit is. Hoeveel toelaatbare kleuringen zijn er?
Vraag 3
Vind alle koppels van reële getallen $(x,y)$ die voldoen aan $2-x^3=y$ en $2-y^3=x$.
Dag 2
Vraag 1
Zij $m,n$ natuurlijke getallen. Bewijs dat
$$\sum_{k=1}^n\left\lfloor\sqrt[k^2]{k^m}\right\rfloor\leq n+m\cdot\left(\sqrt[4]{2^m}-1\right).$$
Vraag 2
Bepaal alle koppels $(a,b)$ van natuurlijke getallen zodat de vergelijking
$$x^3-17x^2+ax-b^2=0$$
drie gehele wortels heeft (niet noodzakelijk verschillend).
Vraag 3
Verschillende punten $A,B,C,D,E,F$ liggen op de cirkel $k$ in die volgorde. De raaklijnen aan $k$ in de punten $A$ en $D$ en de rechten $BF$ en $CE$ snijden in één punt $P$. Bewijs dat de rechten $AD,BC,EF$ ofwel parallel ofwel concurrent zijn.
Dag 3
Vraag 1
Beschouw alle koppels $(a,b)$ van natuurlijke getallen zodat het product $a^ab^b$ eindigt op precies 98 nullen. Vind het koppel $(a,b)$ waarvoor het product $ab$ zo klein mogelijk is.
Vraag 2
Zij $n>2$ een natuurlijk getal. Beschouw een vierkant net op het vlak. In ieder eenheidsvierkantje van het net schrijven we een natuurlijk getal. De veelhoeken met oppervlakte gelijk aan $n$ en waarvan de zijden op de lijnen van het net liggen, worden toelaatbaar genoemd. De som van alle getallen die geschreven zijn in de vierkantjes van zo'n veelhoek wordt de waarde van de veelhoek genoemd. Bewijs dat als de waarden van eender welke twee congruente toelaatbare veelhoeken gelijk zijn, dat dan alle getallen geschreven op de eenheidsvierkantjes van het net gelijk zijn (merk op: congruent veelhoeken kan ook beduiden op gespiegelde veelhoeken).
Vraag 3
Zij $K,L,M$ de middens van de zijden $BC,AC,AB$ van de driehoek $ABC$. De punten $A,B,C$ verdelen de omgeschreven cirkel van $ABC$ in drie bogen $\widehat{AB},\widehat{BC},\widehat{CA}$. Zij $X$ het punt op de boog $\widehat{BC}$ zodat $BX=XC$. Analoog $Y$ en $Z$ op respectievelijk $\widehat{AC}$ en $\widehat{AB}$ zodat $AY=YC$ en $AZ=ZB$. Stel $R$ gelijk aan de straal van de omgeschreven cirkel van $ABC$ en $r$ de straal van de ingeschreven cirkel van $ABC$. Bewijs dat
$$r+KX+LY+MZ=2R.$$
