Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Midden-Europa › APMC › 1998 › ongelijkheid

ongelijkheid

Tags:

Opgave - APMC 1998 dag 1 vraag 1

Zij $x_1,x_2,y_1,y_2$ reële getallen zodat $x_1^2+x_2^2\leq1$. Bewijs dat

$$(x_1y_1+x_2y_2-1)^2\geq(x_1^2+x_2^2-1)(y_1^2+y_2^2-1).$$

Oplossing

Ingediend door Stijn C

Het linkerlid is altijd positief, omdat $(x_1^2+x_2^2-1)\le0$ volgens het gegeven, is het rechterlid pas positief als ook de 2de factor negatief is en dus weten we dat ook $y_1^2+y_2^2\le1$. Met AM-GM weten we dat

$$(x_1y_1+x_2y_2)\le\frac{x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2}{2} \ \ \ [1].$$

We weten dus dat $x_1y_1+x_2y_2\le1$<=>$x_1y_1+x_2y_2-1\le0$, stellen we dus

$$\begin{array}{rcl}a&=&1-x_1y_1+x_2y_2,\\b&=&1-x_1^2-x_2^2,\\c&=&1-y_1^2-y_2^2,\end{array}$$

dan is het linkerlid $= (-a)^2=a^2$ en het rechterlid $= (-b)(-c)=bc$.
Wegens $[1]$ geldt dat $a\ge \frac{b+c}{2}$, met a,b en c positieve reële getallen, omdat $ (\frac{b+c}{2})^2\ge bc$ met AM-GM, geldt het gevraagde idd.