APMC 1994

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

De functie $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ voldoet aan $f(x+19)\leq f(x)+19$ en $f(x+94)\geq f(x)+94$ voor alle $x\in\mathbb R$. Bewijs dat $f(x+1)=f(x)+1$ voor alle $x\in\mathbb R$.

Vraag 2 Opgelost!

De rij $(a_n)$ wordt gedefinieerd als $\displaystyle{a_0=\frac12}$ en $\displaystyle{a_{n+1}=\frac{2a_n}{1+a_n^2}}$ voor alle $n\geq0$ en de rij $(c_n)$ gedefinieerd als $c_0=4$ en $c_{n+1}=c_n^2-2c_n+2$ voor alle $n\geq0$. Toon aan dat voor alle $n\geq1$ geldt dat
$$a_n=\frac{2c_0c_1\ldots c_{n-1}}{c_n}.$$

Vraag 3

Een rechthoekig gebouw bestaat uit 2 rijen van 15 vierkante kamers elk (gesitueerd zoals de cellen in twee naburige rijen van een schaakbord). In iedere kamer zijn er 3 deuren die leiden tot één, twee of alledrie de naburige kamers (deuren die buiten het gebouw leiden worden niet meegeteld). De deuren worden zodanig geplaatst dat men vanuit eender welke kamer naar eender welke andere kamer kan gaan zonder het gebouw te verlaten. Hoeveel distributies van de deuren (in de muren tussen de 30 kamers) kunnen er gevonden worden om aan de gegeven voorwaarden te voldoen?

Dag 2

Vraag 1

Zij $n\geq2$ een vast natuurlijk getal en $P_0$ een vast hoekpunt van een regelmatige $(n+1)-$hoek. De overige hoekpunten worden met $P_1,P_2,\ldots,P_n$ aangeduid in willekeurige volgorde. Aan iedere zijde van de $(n+1)-$hoek kennen we een natuurlijk getal toe op de volgende manier: als de eindpunten van de zijde gelijk zijn aan $P_i$ en $P_j$, dan is het toegekende nummer $|i-j|$. Zij $S$ de som van van alle $n+1$ getallen die zo toegekend worden (uiteraard hangt $S$ af van de volgorde van de hoekpunten).
(i) Wat is de kleinst mogelijke waarde voor $S$ voor een vast natuurlijk getal $n$.
(ii) Hoeveel verschillende toekenningen van de hoekpunten zijn er zodanig dat deze minimumwaarde bereikt wordt?

Vraag 2

Los de volgende vergelijking op in gehele getallen:
$$\frac12(x+y)(y+z)(z+x)+(x+y+z)^3=1-xyz.$$

Vraag 3

Zij $n>1$ een oneven natuurlijk getal. We nemen aan dat de gehele getallen $x_1,x_2,\ldots,x_n\geq0$ voldoen aan volgende vergelijkingen:
$$(x_2-x_1)^2+2(x_2+x_1)+1=n^2$$
$$(x_3-x_2)^2+2(x_3+x_2)+1=n^2$$
$$\ldots$$
$$(x_1-x_n)^2+2(x_1+x_n)+1=n^2.$$
Bewijs dat ofwel $x_1=x_n$ ofwel dat er een $j$ bestaat ($1\leq j\leq n-1$) zodat $x_j=x_{j+1}$.

Dag 3

Vraag 1

Bepaal alle natuurlijke getallen $n=\overline{ab}$ van twee cijfers met de eigenschap dat voor alle natuurlijke getallen $x$, $n|x^a-x^b$.

Vraag 2

Beschouw de vergelijking $f(x,y)=af(x,z)+bf(y,z)$ met reële constanten $a,b$. Voor ieder paar van de reële $a,b$, geef de algemene vorm van de vergelijking $f\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R$ die voldoet aan bovenstaande vergelijking voor alle $x,y,z\in\mathbb R$.

Vraag 3

In het vlak zijn er vier verschillende punten $A,B,C,D$ die op een rechte $g$ liggen, zodat de afstanden $AB,BC,CD$ respectievelijk $a,b,c$ zijn.
(i) Construeer (indien mogelijk) een punt $P$, niet op de rechte $g$, zodat $\angle APB=\angle BPC=\angle CPD$.
(ii) Bewijs dat zo'n punt bestaat, als en slechts als $(a+b)(b+c)<4ac$.