functievergelijking

Opgave - APMC 1994 dag 1 vraag 1

De functie $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ voldoet aan $f(x+19)\leq f(x)+19$ en $f(x+94)\geq f(x)+94$ voor alle $x\in\mathbb R$. Bewijs dat $f(x+1)=f(x)+1$ voor alle $x\in\mathbb R$.

Oplossing

Per inductie geldt $f(x+19k) \leq f(x)+19k$ en $f(x+94k) \geq f(x)+94k$, voor alle $k\in\mathbb{N}$.

We weten dus dat $f(x+95) = f(x+19\cdot 5) \leq f(x)+19\cdot 5 = f(x)+94+1 \leq f(x+94)+1$, zodat $f(x+1) \leq f(x)+1$, voor alle $x$.

Verder is $f(x)+18\cdot 94 \leq f(x+18\cdot 94) = f(x+19\cdot 89+1) \leq f(x+1)+19\cdot 89$, dus $f(x)+1\leq f(x+1)$.

Kortom, $f(x)+1 = f(x+1)$.