APMC 1987
Dag 1
Vraag 1
$P$ is een punt binnen een sfeer. Door $P$ worden drie koorden geconstrueerd die onderling loodrecht op elkaar staan. Toon aan dat de som van de kwadraten van hun lengtes onafhankelijk is van de keuze van $P$.
Vraag 2
$n$ is een volkomen kwadraat zodanig dat als een priemgetal $p$ $n$ deelt, dat $p$ dan een even aantal cijfers telt. Toon aan dat als de rationale getallen $x,y$ voldoen aan $x^n-1987x=y^n-1987y$, dat dan $x=y$.
Vraag 3 Opgelost!
De functie $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ voldoet aan $f(x+1)=f(x)+1$. De rij $x_0,x_1,\ldots,x_n$ voldoet aan $x_n=f(x_{n-1}$ voor alle natuurlijke getallen $n$. Voor een zekere $n>0$, is $x_n-x_0=k$ een natuurlijk getal. Toon aan dat de $\displaystyle{\lim\frac{x_n}n}$ bestaat en vind hem.
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
Bestaat er een deelverzameling van $\{1,2,\ldots,3000\}$ met 2000 elementen zodat $n$ en $2n$ niet beide tot de deelverzameling behoren voor eender welke $n$?
Vraag 2 Opgelost!
De ruimte wordt verdeeld in 3 disjuncte verzamelingen. Toon aan dat we voor iedere $d>0$ twee punten kunnen vinden die op afstand $d$ van elkaar liggen in één van de verzamelingen.
Vraag 3
Zij $C$ is een cirkel met straal 1 en $n$ een vast natuurlijk getal. Zij $F$ de verzameling van alle verzamelingen $S$ van $n$ punten van $C$ en zij $D$ de verzameling van alle diameters van $C$. Gegeven een element $S\in F$ en een element $d\in D$, dan noteren we met $f(S,d)$ de kortste afstand van een element van $S$ naar $d$. Vind $g(n)=\min_F\max_Df(S,d)$ en vind alle verzamelingen $S$ waarvoor $\max_Df(S,d)=g(n)$.
Dag 3
Vraag 1
Toon aan dat er oneindig veel palindromen zijn die als som van hun cijfers één meer hebben dan een derde van het product van hun cijfers. Toon aan dat slechts bij eindig veel van deze al hun cijfers groter dan 1 hebben en vind ze allemaal.
Vraag 2
Een gesloten contour wordt opgesteld uit kwartcirkels. De stukken worden zodanig aan elkaar gepast dat de overgangspunten dezelfde raaklijn hebben, zoals op het bijhordend voorbeeld. Toon aan dat het aantal stukken een veelvoud van vier is.
Vraag 3
Zij $X$ de verzameling van punten $\{(x,y)x=1,2,\ldots,12;y=1,2,\ldots,13\}$. Toon aan dat iedere deelverzameling van $X$ met 49 elementen de coördinaten van 4 punten bevat die de hoekpunten van een rechthoek zijn met zijden parallel aan de assen. Toon aan dat er een deelverzameling bestaat van $X$ van 48 elementen die geen zo'n 4 punten bevat.
