limiet
Opgave - APMC 1987 dag 1 vraag 3
De functie $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ voldoet aan $f(x+1)=f(x)+1$. De rij $x_0,x_1,\ldots,x_n$ voldoet aan $x_n=f(x_{n-1}$ voor alle natuurlijke getallen $n$. Voor een zekere $n>0$, is $x_n-x_0=k$ een natuurlijk getal. Toon aan dat de $\displaystyle{\lim\frac{x_n}n}$ bestaat en vind hem.
- login om te reageren
Oplossing
Het is duidelijk dat $f(x+m)=f(x)+m$ voor elk natuurlijk getal $m$ en elk reëel getal $x$ met inductie.
Voor die zekere $n$ geldt dus $f(x_n-x_0)=f(0)+x_n-x_0=k+x_0$ en dus $x_{n+1}=f(x_n)=f(x_0+k)=f(x_0)+k=x_1+k$, en uiteindelijk $x_{n+m_1}=x_{m_1}+k$ voor elk natuurlijk getal $m_1$.
Stel $m_1=n+m_2$, dan blijkt dat $x_{2n+m_2}=x_{m_2}+2k$ voor elk natuurlijk getal $m_2$.
Dat geeft uiteindelijk dat $x_{mn+y}=x_y+mk$, of dus dat $x_a=\left\lfloor\frac{a}{n}\right\rfloor k+x_{a-n\left\lfloor\frac{a}{n}\right\rfloor}$
Dus, $\lim_{a\to\infty}\frac{x_a}{a}=\lim_{a\to\infty}\frac{\left\lfloor\frac{a}{n}\right\rfloor k+x_{a-n\left\lfloor\frac{a}{n}\right\rfloor}}{a}=\lim_{a\to\infty}\frac{\left\lfloor\frac{a}{n}\right\rfloor k}{a}+0$ want de tweede term convergeert naar 0 omdat de teller nooit groter wordt dan $max( x_1,x_2,\cdots, x_n)$ wat een reëel getal is.
En uiteindelijk hebben we $\lim_{a\to\infty}\frac{\left\lfloor\frac{a}{n}\right\rfloor k}{a}=\frac{k}{n}$ omdat $\frac{\left\lfloor\frac{a}{n}\right\rfloor}{a}=\frac{\frac{a}{n}-\left[\frac{a}{n}\right]}{a}\to\frac{1}{n}$ want $\left[\frac{a}{n}\right]\in[0;1[$.