IrMO 2023
Dag 1
Vraag 1
Gegeven is een driehoek \(ABC\) waarbij \(\angle BAC < 90^\circ\). Punt \(D\) ligt aan de tegenovergestelde zijde van lijn \(AB\) ten opzichte van \(C\) zodanig dat \(|AD| = |BD|\) en \(\angle ADB = 90^\circ\). Op dezelfde manier ligt punt \(E\) aan de tegenovergestelde zijde van \(AC\) ten opzichte van \(B\) zodanig dat \(|AE| = |CE|\) en \(\angle AEC = 90^\circ\). Punt \(X\) is zodanig dat \(ADXE\) een parallellogram is.
Bewijs dat \(|BX| = |CX|\).
Vraag 2
Voor \(n \geq 3\) is een speciale \(n\)-driehoek een driehoek met \(n\) verschillende getallen aan elke zijde, zodanig dat de som van de getallen aan een zijde hetzelfde is voor alle zijden. Bijvoorbeeld, omdat \(41 + 23 + 43 = 43 + 17 + 47 = 47 + 19 + 41\), is het volgende een speciale \(3\)-driehoek:
\[
41
\]
\[
23\ \ \ \ \ 19
\]
\[
43\ \ \ \ \ 17\ \ \ \ \ 47
\]
Merk op dat een speciale \(n\)-driehoek \(3(n - 1)\) getallen bevat.
Een oneindige verzameling \(A\) van positieve gehele getallen is een speciale verzameling als, voor elk \(n \geq 3\), de kleinste \(3(n - 1)\) getallen van \(A\) gebruikt kunnen worden om een speciale \(n\)-driehoek te vormen.
Toon aan dat de verzameling van positieve gehele getallen die geen veelvouden zijn van \(2023\), een speciale verzameling is.
Vraag 3
Laat $A$, $B$, $C$, $D$ en $E$ vijf punten zijn op een cirkel zodanig dat $|AB| = |CD|$ en $|BC| = |DE|$. De lijnsegmenten $AD$ en $BE$ snijden elkaar in punt $F$. Laat $M$ het middelpunt zijn van lijnsegment $CD$. Bewijs dat de cirkel met middelpunt $M$ en straal $ME$ door het middelpunt gaat van lijnsegment $AF$.
Vraag 4
Beschouw alle functies \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) die voldoen aan de volgende functionele vergelijking:
\[f(x)f(y) = (xy - 1)^2f\left(\frac{x + y - 1}{xy - 1}\right)\]
voor alle reële getallen \(x, y\) waarvoor \(xy \neq 1\). Zoek alle mogelijke functies \(f(x)\).
Vraag 5
De positieve gehele getallen $a, b, c, d$ voldoen aan de volgende voorwaarden:
(i) $a + b + c + d = 2023$
(ii) $2023 \, | \, ab - cd$
(iii) $2023 \, | \, a^2 + b^2 + c^2 + d^2.$
Assumeer dat elk van de getallen $a, b, c, d$ deelbaar is door $7$. Bewijs dat elk van de getallen $a, b, c, d$ deelbaar is door $17$.
Dag 2
Vraag 1
Een positief geheel getal is volledig vierkant als de som van de cijfers (geschreven in basis $10$) een volkomen kwadraat is. Bijvoorbeeld, $13$ is volledig vierkant omdat $1 + 3 = 2^2$, maar $16$ is dat niet.
Bewijs dat er oneindig veel positieve gehele getallen zijn die niet de som zijn van twee volledig vierkante getallen.
Vraag 2
Aisling en Brendan nemen afwisselende zetten in het volgende spel. Voordat het spel begint, wordt het getal $x = 2023$ op een stuk papier geschreven. Aisling maakt de eerste zet. Een zet vanuit een positief geheel getal $x$ bestaat uit het vervangen van $x$ door $x + 1$ of door $x/p$ waarbij $p$ een priemfactor van $x$ is.
De winnaar is de eerste speler die $x = 1$ opschrijft.
Bepaal of Aisling of Brendan een winnende strategie heeft voor dit spel.
Vraag 3
Stel dat $a, b, c$ positieve reële getallen zijn en $a + b + c = 3$. Bewijs dat
$$\frac{a+b}{c+2} + \frac{b+c}{a+2} + \frac{c+a}{b+2} \geq 2$$
en bepaal wanneer gelijkheid geldt.
Vraag 4
Driehoek $ABC$ heeft omgeschreven middelpunt $O$ en omgeschreven cirkel $\Gamma$. Laat $AI$ een diameter zijn van $\Gamma$. De lijn $AI$ wordt verlengd om de omgeschreven cirkel $\omega$ van $\triangle BOC$ voor de tweede keer te snijden op een punt $P$.
Laat $AD$ en $IQ$ loodrecht staan op $BC$, waarbij $D$ en $Q$ zich op $BC$ bevinden. Laat $M$ het middelpunt van $BC$ zijn.
(a) Bewijs dat $|AD| \cdot |QI| = |CD| \cdot |CQ| = |BD| \cdot |BQ|$.
(b) Bewijs dat $IM$ parallel is aan $PD$.
Vraag 5
Caitlin en Donal spelen een spel genaamd "Basketball Shoot-Out". Het spel bestaat uit $10$ ronden. In elke ronde gooien Caitlin en Donal tegelijkertijd een bal in elkaars basket. Als de bal van een speler in de basket valt, scoort die speler één punt; anders scoort hij of zij nul punten. Het scorebord toont de volledige reeks punten die elke speler heeft gescoord in elk van de $10$ ronden van het spel.
Het blijkt dat Caitlin na elke ronde van het spel minstens evenveel punten heeft gescoord als Donal. Bewijs dat het aantal mogelijke scoreborden deelbaar is door $4$ maar niet door $8$.
