IrMO 2006

Dag 1

Vraag 1

Zijn er gehele getallen $x,y,z$ die voldoen aan $z^2 = (x^2+1)(y^2-1)+n$ als $n=2006$? Wat als $n=2007$?

Vraag 2 Opgelost!

Zij $P,Q$ punten op de benen $AB$ en $AC$ van een gelijkbenige driehoek $\triangle ABC$, zodanig dat $AP=CQ$ ($P$ noch $Q$ is een hoekpunt van $\triangle ABC$). Toon aan dat de omgeschreven cirkel van $\triangle APQ$ door het centrum van de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$ gaat.

Vraag 3 Opgelost!

Bewijs dat een vierkant met zijde $2.1$ volledig bedekt kan worden door zeven vierkantjes met zijde $1$.

Vraag 4

Vind de grootste en kleinste waarde van $x+y$, waarbij de reële getallen $x\ge-2$ en $y\ge-3$ voldoen aan $$x-2\sqrt{x+2}=2\sqrt{y+3}-y.$$

Vraag 5 Opgelost!

Vind alle functies $f\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ met $f(1)=1$ en $f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$, voor alle $x,y\in\mathbb{R}$.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Op een $m\times n$ bord moet je links onderaan starten, en door enkel naar links, rechts, boven of onder te bewegen, moet je in het rechts bovenaan eindigen, en hierbij elk van de $mn$ vakjes precies éénmaal aangedaan hebben. Voor welke waarden van $m,n$ is dit mogelijk?

Vraag 2

Zij $\triangle ABC$ een driehoek met punten $D,E\in [BC]$ ($D$ dichtst bij $B$), $F,G\in [AC]$ ($F$ dichtst bij $C$), $H,K\in [AB]$ ($H$ dichtst bij $A$). Als $AH=AG=1$, $BK=BD=2$, $CE=CF=4$, $\angle B=60^\circ$ en $D,E,F,G,H,K$ liggen allemaal op een cirkel, vind dan de straal van de ingeschreven cirkel van $\triangle ABC$.

Vraag 3

Zij $x,y>0$ met $x+2y=1$. Toon aan dat $$\frac1x+ \frac2y\ge \frac{25}{1+48xy^2}.$$

Vraag 4

Zij $n>0$ een geheel getal. Vind de grootste gemene deler van de getallen $$\binom{2n}{1},\binom{2n}{3},\ldots,\binom{2n}{2n-1}.$$

Vraag 5

Gegeven gehele getallen $k>0,n\ge2$. In het vlak zijn er $n$ cirkels zodat elke twee zijnden in twee punten, en elk van deze snijpunten is verschillend. Elk snijpunt wordt gekleurd in één van $n$ gegeven kleuren op zodanige wijze dat alle $n$ de kleuren gebruikt worden. Als op iedere cirkel ook nog eens precies $k$ verschillende kleuren van punten moeten liggen, bepaal dan alle koppels $(n,k)$ waarvoor een dergelijke configuratie mogelijk is.