omgeschreven cirkels
Opgave - IrMO 2006 dag 1 vraag 2
Zij $P,Q$ punten op de benen $AB$ en $AC$ van een gelijkbenige driehoek $\triangle ABC$, zodanig dat $AP=CQ$ ($P$ noch $Q$ is een hoekpunt van $\triangle ABC$). Toon aan dat de omgeschreven cirkel van $\triangle APQ$ door het centrum van de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$ gaat.
- login om te reageren
Oplossing
Zij $O$ het snijpunt van de middelloodlijnen van $PQ$ en $AC$, dan is duidelijk $OP=OQ$ en $OA=OC$, dus $\triangle APO\cong\triangle CQO$, en aangezien daaruit volgt dat $\angle CQO=\angle APO$, is $APOQ$ een koordenvierhoek.
Dus hebben we $\angle OCQ=\angle OAP=\angle OQP=\angle OPQ=\angle OAQ$, zodat $AO$ de bissectrice van hoek $A$ is. Per constructie is dan $OA=OB=OC$, zodat $O$ het centrum van de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$ is, QED.