functievergelijking

Opgave - IrMO 2006 dag 1 vraag 5

Vind alle functies $f\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ met $f(1)=1$ en $f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$, voor alle $x,y\in\mathbb{R}$.

Oplossing

Ik denk dat het zonder ook lukt hoor, zelfs door een kleine aanpassing.

Zoals je wellicht in je hoofd gedaan had: $y=0,x=0\Rightarrow f(f(0))=f(0)$, $y=0,x=f(0)\Rightarrow f(0)=f(f(f(0)))=f(0)^2+f(0)\Rightarrow f(0)=0$, dus voor $x=0$ is het ok.

Voor gans $\mathbb{R}$ geldt er dat: ${\left.\begin{array}{l}y=0\Rightarrow f(f(x))=f(x), \forall x\\x=1\Rightarrow f(y+1)=f(y)+1, \forall y\end{array} \right\} \Rightarrow f(1+f(x))=f(f(x+1))=f(x+1), \forall x}$.

En dan volstaat het $y=x^{-1}$ te kiezen (voor $x\not=0$): $1+f(x)=f(1+f(x))=f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$, dus $xy=1=xf(y)$, dus $f(y)=y$ voor alle $y\in\mathbb{R}$, QED.