IrMO 2005

Dag 1

Vraag 1

Bewijs dat $2005^{2005}$ de som van twee volkomen kwadraten is, maar niet de som van twee volkomen derdemachten.

Vraag 2

Zij $D,E,F$ punten op respectievelijk zijden $BC,CA,AB$ van een driehoek $\triangle ABC$, alledrie verschillend van de hoekpunten, zodat $AD\cap BE\cap CF=\{G\}$ voor een zeker punt $G$. Als $\triangle AGF$, $\triangle CGE$ en $\triangle BGD$ gelijke oppervlakte hebbfen, bewijs dan dat $G$ het zwaartepunt is van $ABC$.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $T$ de som van de lengtes van de zwaartelijnen in een driehoek, en $S$ de omtrek. Bewijs dat $T\ge\frac{3S}4$.

Vraag 4

Bepaal het aantal permutaties $a_1, \ldots, a_{10}$ van $1,2,\ldots,10$, waarvoor $a_i>a_{2i}$ voor $i=1,...,5$ en $a_i>a_{2i+1}$ voor $i=1,...,4$.

Vraag 5 Opgelost!

Zij $a,b,c\ge0$. Bewijs dat $$\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}3\le a^2+b^2+c^2-3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2.$$

Dag 2

Vraag 1

Zij $\triangle ABC$ een driehoek, $X\in]AB[$, $P$ het centrum van de ingeschreven cirkel van $\triangle ACX$ en $Q$ het centrum van de ingeschreven cirkel van $\triangle BCX$. Als $M$ het midden van het lijnstuk $[PQ]$ is, bewijs dan dat $|MC|>|MX|$.

Vraag 2 Opgelost!

Twee spelers stellen een getal van $2005$ cijfers op: om beurten kiezen Arne en Bart een cijfer uit $\{1,2,3,4,5\}$. A kiest de eerste, B de tweede, enzovoort. A plaatst dus het laatste cijfer en wint als en slechts als het uiteindelijke cijfer deelbaar is door negen. Als beide perfect spelen, wie wint dan?

Vraag 3

Zij $x,y,z,w\in\mathbb{Z}$ met $y,z,w$ oneven. Toon aan dat $17\left|x^{y^{z^w}}-x^{y^z}\right.$.

Vraag 4 Opgelost!

Vind het cijfer vlak voor en vlak na de komma in de decimale voorstelling van $(\sqrt{2}+\sqrt{5})^{2000}$.

Vraag 5

Zij $m,n\in\mathbb{Z}$ oneven getallen zodat $m^2-n^2+1|n^2-1$. Bewijs dat $m^2-n^2+1$ een volkomen kwadraat is.