spelletje
Opgave - IrMO 2005 dag 2 vraag 2
Twee spelers stellen een getal van $2005$ cijfers op: om beurten kiezen Arne en Bart een cijfer uit $\{1,2,3,4,5\}$. A kiest de eerste, B de tweede, enzovoort. A plaatst dus het laatste cijfer en wint als en slechts als het uiteindelijke cijfer deelbaar is door negen. Als beide perfect spelen, wie wint dan?
- login om te reageren
Oplossing
B zal altijd winnen. Aangezien B als tweede legt, kan hij er altijd voor zorgen dat nadat hij een cijfer gekozen heeft, de som van de cijfers van het getal een zesvoud is, want $1+5=6$, $2+4=6$, $3+3=6$, $4+2=6$ en $5+1=6$. Nadat B het $2004$-de cijfer gelegd heeft, zal de som van de cijfers van het getal dat er dan al ligt dus $\frac{2004}{2}\cdot 6=6012$ zijn, wat deelbaar is door $9$. Nu kan A geen enkel cijfer meer kiezen zodat het getal deelbaar zou zijn door $9$, want voor geen van de cijfers geldt dat $\{1,2,3,4,5\}\equiv 0\ (mod9)$