meetkundige ongelijkheid

Opgave - IrMO 2005 dag 1 vraag 3

Zij $T$ de som van de lengtes van de zwaartelijnen in een driehoek, en $S$ de omtrek. Bewijs dat $T\ge\frac{3S}4$.

Oplossing

Construeer driehoek met hoekpunten $A,B,C$ en noem overstaande zijdes respectievelijk $a,b,c$.
Noem de lengtes van de zwaartelijn op $a, T_a$, die op $b, T_b$, die op $c, T_c$.

Zij $Z$ het zwaartepunt. Dan geldt dat $|AZ|= \frac 23 T_a$ en analoog.

De driehoeksongelijkheid in driehoek $\triangle ABZ$ levert dan dat
$c=|AB| \le |AZ|+|BZ|=\frac23 (T_a+T_b).$

Voor $a$ en $b$ gelden de analoge afschattingen.
De $3$ ongelijkheden samen geven
$S=a+b+c \le \frac43 (T_a+T_b+T_c)=\frac 43 T.$
Dat laatste is equivalent met $T \ge \frac 34 S.$