ongelijkheid

Toepassingen van AM-GM:

(1) Herschrijf de eerste ongelijkheid als $\frac{-2}{3}(ab+bc+ac) \leq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)-3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

Wegens AM-GM en vermenigvuldigen met $-2$ weten we dat $\frac{-2}{3}(ab+bc+ac) \leq -2\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$.
Ook door AM-GM: $\frac{a^2+b^2+c^2}{3} - 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \ge 0$
Uit deze twee toepassingen van AM-GM volgt de eerste ongelijkheid.

Merk op dat het equivalent is met $(a+b+c)^2 \ge 9\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$
of $a+b+c \ge 3 \sqrt[3]{abc}$ wat direct AM-gm is.

(2) Herschrijf de ongelijkheid als $3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} +a^2+b^2+c^2 \ge 2(ab+bc+ac)$

Nu geldt wegen de ongelijkheid van Schur dat $3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} +a^2+b^2+c^2 \ge \sum_{sym} \sqrt[3]{a^4b^2} \ge 2(ab+bc+ac)$ wegens AM-GM