IrMO 1997

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle gehele oplossingen voor
$$1+1996m+1998n=mn.$$

Vraag 2

$ABC$ is een gelijkzijdige driehoek en $M$ is een inwendig punt. $D,E,F$ zijn de voetpunten van de loodrechten uit $M$ op $BC,CA,AB$ respectievelijk. Vind de meetkundige plaats van $M$ zodat $\angle FDE=90^\circ$.

Vraag 3 Opgelost!

Vind alle veeltermen $p(x)$ zodat $(x-16)p(2x)=(16x-16)p(x)$.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

$a,b,c$ zijn positieve reële getallen zodat $a+b+c\geq abc$. Toon aan dat
$$a^2+b^2+c^2\geq abc.$$

Vraag 2 Opgelost!

Zij $S$ de verzameling van de oneven natuurlijke getallen groter dan 1. Voor $x\in S$ definiëren we $f(x)$ als het grootste natuurlijk getal zodat $2^{f(x)}

Vraag 3 Opgelost!

Zij $\sigma(n)$ de som van de positieve delers van $n$. Toon aan dat als $\sigma(n)>2n$, dan $\sigma(mn)>2mn$ voor alle $m\in\mathbb N$.

Dag 3

Vraag 1

De vierhoek $ABCD$ is omgeschreven aan een cirkel, waarbij $\angle A=\angle B=120^\circ,\angle C=30^\circ$ en $|BC|=1$. Vind $|AD|$.

Vraag 2

Een deelverzameling van $\{0,1,2,\ldots,1997\}$ heeft meer dan 1000 elementen. Toon aan dat het ofwel een macht van 2 bevat, ofwel twee verschillende elementen waarvan de som een macht van 2 is.

Vraag 3 Opgelost!

Hoeveel natuurlijke getallen van duizend oneven cijfers bestaan er zodat elke twee naburige cijfers een verschil hebben van 2?

Vraag 4 Opgelost!

Zij $p$ een oneven priemgetal. We zeggen dat $n$ voldoet aan $K_p$ als de verzameling $\{1,2,\ldots,n\}$ gepartitioneerd kan worden in $p$ disjuncte deelverzamelingen zodat de som van de elementen in iedere deelverzameling dezelfde is. Bijvoorbeeld, 5 voldoet aan $K_3$ omdat $\{1,2,3,4,5\}=\{1,4\}\cup\{2,3\}\cup\{5\}$. Toon aan dat als $n$ voldoet aan $K_p$, dan is $n$ of $n+1$ een veelvoud van $p$. Toon aan dat als $n$ een veelvoud is van $2p$, dan voldoet $n$ aan $K_p$.