diophantische vergelijking

Opgave - IrMO 1997 dag 1 vraag 1

Vind alle gehele oplossingen voor
$$1+1996m+1998n=mn.$$

Oplossing

$1997(m+n)=(m-1)(n+1)$ met m,n allebei oneven (alle andere mogelijkheden geven contradictie). Zeg daarom $m=2k+1$ en $n=2l-1$. dan verkrijg je $1997(k+l)=2kl$,
merk op dat $1997$ priem is en $kl$ deelt.
*
Stel nu eerst $k=1997h$, je krijgt $h=\frac{l}{2l-1997}$, dan geldt $2l-1997=ggd(l,2l-1997)|ggd(2l,2l-1997)|2l-(2l-1997)=1997$, wat $\pm 1,\pm1997$ als mogelijkheden gaf voor $2l-1997$.
Dit geeft $(0,0)$ ,$(1,1997)$, $(999,999)$ en $(-998,998)$.
Na omzetting plus analoge symmetrie ( $k,l$-waarden zijn symmetrisch) geeft dat opl $(k,l)=(0,0),(1997,1997),(999*1997,999)(999,999*1997) (-998*1997,998)(998,-998*1997)$.

Dus er zijn 6 gehele opl voor $m$ en $n$:
$(m,n)=(-1,1)(2*1997+1,2*1997-1) (2*999*1997+1,2*999-1),$
$(2*999+1,2*999*1997-1) (-2*998*1997+1,2*998-1)(2*998+1,-2*998*1997-1)$