veeltermvergelijking

Opgave - IrMO 1997 dag 1 vraag 3

Vind alle veeltermen $p(x)$ zodat $(x-16)p(2x)=(16x-16)p(x)$.

Oplossing

Laat $p(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i$ met $a_n\neq 0$. Kijk dan naar de coëfficiënt bij $x^{n+1}$ in de uitdrukking $(x-16)p(2x) = (16x-16)p(x)$: er moet gelden dat $a_n2^n = 16a_n$, dus $n=4$. Stel $p(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ en vul dat weer in in de gegeven vergelijking. Coëfficiënten gelijkstellen en we zijn klaar.

Iets netter dus: de graad is duidelijk $4$ zoals je al zei, nu eens kijken naar de nulpunten. $(2(x-k)) = ((2x)-2k)$. Stel nu $q(x)=(x-16)p(2x)=(16x-16)p(x)$, dan hebben we achtereenvolgens:

$q(1)=0$ dus ook linkerlid: $q(2)=0$ en dus ook $p(2)=0$
$p(2)=0$ dus ook linkerlid: $p(4)=0$
$p(4)=0$ dus ook linkerlid: $p(8)=0$
$p(8)=0$ dus ook linkerlid: $p(16)=0$

Wegens de hoofdstelling van de algebra hebben we dus $p(x)=k(x-2)(x-4)(x-8 )(x-16)$ (voor zekere $k\in\mathbb{R}$).