ongelijkheid

Wegens AM-GM geldt $\frac{a^2 + b^2}{2} \geq ab$, $\frac{b^2 + c^2}{2} \geq bc$ en $\frac{a^2 + c^2}{2} \geq ac$. Dus volgt
$\begin{eqnarray*}
\frac{a^{2}+b^{2} + b^{2} + c^{2} + a^{2} + c^{2}}{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ac
\end{eqnarray*}$.

We hebben dan
$\begin{eqnarray*}
\left(a^2 + b^2 + c^2\right)^{2} - 3abc(a+b+c) & \geq & \left(ab + bc + ac\right)^{2}-3abc(a+b+c) \\
&=& (ab)^{2} + (bc)^{2} + (ac)^{2} - b^{2} (ac) - a^{2} (bc) - c^2 (ab) \\
&=& \frac{ (ab)^{2} + (bc)^{2} - 2 b^{2}(ac) + (bc)^{2} + (ac)^{2}- 2c^{2} (ab) + (ac)^2 + (ab)^{2} - 2a^{2}(bc) }{2} \\
&=& \frac{(ab-bc)^{2} + (bc-ac)^{2} + (ac-ab)^{2}}{2} \\
& \geq & 0
\end{eqnarray*}
$
Er is gegeven dat $a+b+c \geq abc$. Bijgevolg geldt
$\begin{eqnarray*}
a^2 + b^2 + c^2 & \geq & \sqrt{3abc(a+b+c)} \\
& \geq & \sqrt{3 (abc)^{2}} \\
&=& \sqrt{3} \cdot abc \\
&>& abc
\end{eqnarray*}$

(Blijkbaar geldt er dus een striktere ongelijkheid, namelijk
$a^2 + b^2 + c^2 \geq \sqrt{3} \cdot abc$.)

EDIT: Er stond een klein foutje in de laatste ongelijkheid, "$\geq$" in plaats van "$>$". Er geldt immers een strikte ongelijkheid in de originele opgave (hoewel in principe groter of gelijk aan ook klopt)...