IrMO 1996
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Vind de grootste gemene deler van $n!+1$ en $(n+1)!$.
Vraag 2
Stel $s(n)$ de som van de cijfers van $n$ in decimale voorstelling. Toon aan dat $s(2n)\leq2s(n)\leq10s(2n)$ en dat er een $k$ bestaat zodat $s(k)=1996s(3k)$.
Vraag 3
$f[0,1]\rightarrow\mathbb R$ voldoet aan $f(1)=1,f(x)\geq0$ voor alle $x\in[0,1]$ en als $x,y,x+y\in[0,1]$, dan $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$. Toon aan dat $f(x)\leq2f(x)$ voor alle $x\in[0,1]$.
Dag 2
Vraag 1
$ABC$ is een willekeurige driehoek. $D$ en $E$ worden geconstrueerd zoals getoond zodat $ABD$ en $ACE$ rechthoekige gelijkbenige driehoeken zijn, en $F$ is het midden van $BC$. Toon aan dat $DEF$ een rechthoekige gelijkbenige driehoek is.
Vraag 2
Toon aan hoe je een vierkant in maximum vijf stukken kan verdelen zodat de stukken herschikt kunnen worden om drie vierkanten te vormen, allemaal van een verschillende grootte.
Vraag 3
De Fibonacci-rij is gedefinieerd door $F_0=0,F_1=1$ en $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. Toon aan dat $F_{n+60}-F_n$ deelbaar is door 10 voor alle $n$, maar dat er voor eender welke $1\leq k\leq60$ een $n$ bestaat zodat $F_{n+k}-F_n$ niet deelbaar is door 10. Toon vervolgens ook aan dat $F_{n+300}-F_n$ deelbaar is door 100 voor alle $n$, maar dat er voor eender welke $1\leq k\leq300$ een $n$ bestaat zodat $F_{n+k}-F_n$ niet deelbaar is door 100.
Dag 3
Vraag 1
Toon aan dat
$$\sqrt2\sqrt[4]4\sqrt[8]8\cdots\sqrt[2^n]{2^n}<4.$$
Vraag 2 Opgelost!
Als $p$ een priemgetal is, toon dan aan dat $2^p+3^p$ geen $n$-demacht kan zijn (voor $n>1$).
Vraag 3
$ABC$ is een scherphoekige driehoek. De hoogtes noemen we $AD,BE,CF$. De voetpunten van de loodrechten uit $A,B,C$ op $EF,FD,DE$ respectievelijk noemen we $P,Q,R$. Toon aan dat $AP,BQ,CR$ concurrent zijn.
Vraag 4
33 schijven worden op een $5\times9$ bord geplaatst, maximum één schijf per vierkantje. Bij iedere stap wordt iedere schijf éénmaal verplaatst zodat na de stap, nog altijd ieder vierkantje maximum één schijf bevat. Iedere schijf wordt afwisselend één vierkantje omhoog/omlaag en één vierkantje naar links/rechts verplaatst. Dus een enkele schijf kan bijvoorbeeld de bewegingen links, omhoog, links, omlaag, links, omhoog, rechts, omlaag,... ondergaan. Toon aan dat we slechts een eindig aantal stappen kunnen uitvoeren. Toon aan dat we met 32 schijven oneindig veel stappen kunnen uitvoeren.
