CanMO 2001

Vraag 1 Opgelost!

Peter: Dag Thomas, dat is een interessante kwadratische vergelijking die je hebt neergeschreven. Wat zijn de wortels?
Thomas: De wortels zijn twee natuurlijke getallen. Eén ervan is mijn leeftijd, en de andere is de leeftijd van mijn jongere broertje Jimmy.
Peter: Dat is heel merkwaardig! Laat me eens zien of ik kan uitvissen hoe oud jij en Jimmy zijn. Dat kan niet zo moeilijk zijn aangezien al je coëfficiënten gehele getallen zijn. Ik heb trouwens net gemerkt dat de som van je coëfficiënten een priemgetal is.
Thomas: Interessant. Zoek nu maar hoe oud ik ben.
Peter: In plaats daarvan zal ik je leeftijd raden en als $x$ invullen in je vergelijking...darn, dat komt -55 uit en niet 0.
Thomas: Oh, laat me gerust!
(a) Bewijs dat Jimmy twee jaar oud is.
(b) Bepaal de leeftijd van Thomas.

Vraag 2

Op een bord staan de (21) gehele getallen van -10 tot 10 in opklimmende volgorde, en ieder getal staat in een vierkantje. Ieder vierkantje is ofwel wit ofwel rood gekleurd, en de som van de getallen op de rode vierkantjes is $n$. Arne start met het vierkantje met cijfer 0 te markeren en werpt daarna 10 maal een eerlijke munt omhoog. Iedere keer dat de munt op kop belandt, beweegt hij de markering 1 vierkantje naar rechts. Iedere keer dat hij munt gooit 1 vierkantje naar links. Op het einde van de 10 tossen is de kans dat de markering op een rood vierkantje uitkomt een rationaal getal van de vorm $\frac ab$. Als gegeven is dat $a+b=2001$, vind de grootst mogelijke waarde voor $n$.

Vraag 3

Zij $ABC$ een driehoek met $AC>AB$. Zij $P$ het snijpunt van de middelloodlijn van $BC$ en de bissectrice van de hoek $A$. Construeer punten $X$ op het verlengde van $AB$ en $Y$ op $AC$ zodat $PX$ loodrecht staat op $AB$ en $PY$ loodrecht staat op $AC$. Zij $Z$ het snijpunt van $XY$ en $BC$. Bepaal de waarde van $BZ/ZC$.

Vraag 4

Zij $n$ een natuurlijk getal. Aan Stijn wordt een rechthoekige tabel gegeven waarin ieder element een natuurlijk getal is. Hij mag telkens één van volgende twee bewegingen doen:
(a) een rij selecteren en ieder element in die rij vermenigvuldigen met $n$.
(b) een kolom selecteren en van ieder element in die kolom $n$ aftrekken.
Vind alle mogelijke waarden voor $n$ waarvoor volgende stelling correct is: Gegeven een rechthoekige tabel, is het mogelijk voor Stijn om een eindig aantal bewegingen uit te voeren zodat op het einde alle elementen gelijk zijn aan 0.

Vraag 5

Zij $P_0,P_1,P_2$ drie punten op de omtrek van een cirkel met straal 1, met $P_1P_2=t<2$. Voor iedere $i\geq3$ definieer $P_i$ als het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de driehoek $P_{i-1}P_{i-2}P_{i-3}$.
(a) Bewijs dat de punten $P_1,P_5,P_9,P_{13},...$ collineair zijn.
(b) Zij $x$ de afstand van $P_1$ tot $P_{1001}$, en $y$ de afstand van $P_{1001}$ tot $P_{2001}$. Bepaal alle waarden van $t$ waarvoor $\sqrt[500]{x/y}$ een natuurlijk getal is.