kwadratische vergelijking
Opgave - CanMO 2001 vraag 1
Peter: Dag Thomas, dat is een interessante kwadratische vergelijking die je hebt neergeschreven. Wat zijn de wortels?
Thomas: De wortels zijn twee natuurlijke getallen. Eén ervan is mijn leeftijd, en de andere is de leeftijd van mijn jongere broertje Jimmy.
Peter: Dat is heel merkwaardig! Laat me eens zien of ik kan uitvissen hoe oud jij en Jimmy zijn. Dat kan niet zo moeilijk zijn aangezien al je coëfficiënten gehele getallen zijn. Ik heb trouwens net gemerkt dat de som van je coëfficiënten een priemgetal is.
Thomas: Interessant. Zoek nu maar hoe oud ik ben.
Peter: In plaats daarvan zal ik je leeftijd raden en als $x$ invullen in je vergelijking...darn, dat komt -55 uit en niet 0.
Thomas: Oh, laat me gerust!
(a) Bewijs dat Jimmy twee jaar oud is.
(b) Bepaal de leeftijd van Thomas.
- login om te reageren
Oplossing
We kunnen de kwadratische vergelijking schrijven als $p(x)=a(x-j)(x-t)=ax^2+a(-j-t)x+ajt$
met $a,j,t \in \mathbb{N}_0$ en $j,t$ de leeftijd van Jimmy, respectievelijk Thomas.
We weten dat $a(1-j)(1-t)$ een priemgetal is (som van de coëfficiënten). Er moeten twee factoren gelijk zijn aan $1$ of $-1$ ($1-j \leq 0$) opdat het weldegelijk priem is. Omdat $|1-j| < |1-t| \Rightarrow a=1 \wedge j=2$. Hierdoor hebben we het eerst gevraagde al bewezen.
We vinden dus dat $p(x)=(x-2)(x-t)$. Nu bestaat er ook een $m \in \mathbb{N} \colon p(m)=-55$. We vinden 4 koppels $(m-2,m-t)$: $(1,-55);(5,-11);(11,-5);(55,-1)$. Rekenen we dit uit, dan vinden we de koppels $(m,t)$: $(3, 58);(7, 18);(13, 18); (57, 58)$ Indachtig dat $t-1$ priem moet zijn, vinden we dat $t=18$.