CanMO 1973

Vraag 1 Opgelost!

(i) Welke enkelvoudige ongelijkheid is equivalent met ongelijkheden $x<\frac1{4x}$ en $x<0$.
(ii) Welk is het grootste geheel getal die voldoet aan zowel $4x+13<0$ en $x^2+3x>16$?
(iii) Geef een rationaal getal tussen 11/24 en 6/13.
(iv) Druk 100000 uit als product van twee natuurlijke getallen, waarvan er geen van beide een geheel veelvoud is van 10.
(v) Evalueer
$$\frac1{\log_236}+\frac1{\log_336}.$$

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle reële getallen die voldoen aan de vergelijking $|x+3|-|x-1|=x+1$.

Vraag 3 Opgelost!

Bewijs dat als $p$ en $p+2$ priemgetallen zijn groter dan 3, dat 6 een factor is van $p+1$.

Vraag 4

De figuur toont een convexe veelhoek met negen hoekpunten. De zes diagonalen die getekend zijn verdelen de veelhoek in zeven driehoeken: $P_0P_1P_3$, $P_0P_3P_6$, $P_0P_6P_7$, $P_0P_7P_8$, $P_1P_2P_3$, $P_3P_4P_6$, $P_4P_5P_6$. Op hoeveel manieren kunnen we deze driehoeken labellen met de namen $\triangle_1$, $\triangle_2$, $\triangle_3$, $\triangle_4$, $\triangle_5$, $\triangle_6$, $\triangle_7$ zodat $P_i$ een hoekpunt is van $\triangle_i$ voor $i=1,2,3,4,5,6,7$? Verklaar je antwoord.

Vraag 5 Opgelost!

Voor ieder natuurlijk getal $n$, definiëren we
$$h(n)=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n.$$
Bewijs dat voor alle $n>1$,
$$n+h(1)+h(2)+h(3)+\cdots+h(n-1)=nh(n).$$

Vraag 6

Als $A$ en $B$ twee punten zijn op een gegeven cirkel, niet collineair met het middelpunt $O$, en als $XY$ de variabele diameter van die cirkel voorstelt, vind dan de meetkundige plaats $P$ die het snijpunt van de rechte door $A$ en $X$ en de rechte door $B$ en $Y$ voorstelt.

Vraag 7 Opgelost!

Je weet dat
$$\frac11=\frac12+\frac12;\ \frac12=\frac13+\frac16;\ \frac13=\frac14+\frac1{12};\ \frac14=\frac15+\frac1{20}.$$
Formuleer een algemene wet verondersteld door deze voorbeelden en bewijs ze.
Bewijs dat voor ieder natuurlijk getal groter dan 1 er natuurlijke getallen $i$ en $j$ bestaan zodat
$$\frac1n=\frac1{i(i+1)}+\frac1{(i+1)(i+2)}+\frac1{(i+2)(i+3)}+\cdots+ \frac1{(j(j+1)}.$$