triviale calculus
Opgave - CanMO 1973 vraag 1
(i) Welke enkelvoudige ongelijkheid is equivalent met ongelijkheden $x<\frac1{4x}$ en $x<0$.
(ii) Welk is het grootste geheel getal die voldoet aan zowel $4x+13<0$ en $x^2+3x>16$?
(iii) Geef een rationaal getal tussen 11/24 en 6/13.
(iv) Druk 100000 uit als product van twee natuurlijke getallen, waarvan er geen van beide een geheel veelvoud is van 10.
(v) Evalueer
$$\frac1{\log_236}+\frac1{\log_336}.$$
- login om te reageren
Oplossing
(i)
Uit de tweede voorwaarde halen we dat wanneer we vermenigvuldigen met x in de eerste ongelijkheid dat we het teken draaien. Dus $4x^2>1$
hieruit halen we dat $x^2>1/4$ en door voorwaarde 2 is $x<-1/2$
(ii)
Eerste ongelijkheid levert dat $x < -13/4$ de tweede ongelijkheid heeft ons $x^2+3x-16>0$. De discriminant van de tweedegraadsvergelijking is gelijk aan $\sqrt{73}$ en dus hebben we als oplossingen voor $x$ $x>\frac{-3+\sqrt{73}}{2}$ dit valt zowiezo al weg want voldoet niet aan het eerste en $x<\frac{-3-\sqrt{73}}{2}$ het enigste geheel getal dat kan voldoen is dan $\sqrt{81}$ beschouwen en zo kom je dat -6 het grootste geheel getal is die voldoet.
(iii)
Zet op gelijke noemer en dan krijg je de breuken $\frac{143}{312}$ en $\frac{144}{312}$ daartussen ligt dan $\frac{143.5}{312}$ of iets mooier $\frac {287}{624}$.
(iv)
ontbinden in priemfactoren en de juiste termen samennemen heeft ons $32 \cdot 3125$
(v)$\frac {1}{\log_2 36}$ wordt $\frac {1}{2 \log_2 6}$ of nog iets verder uitgewerkt krijg je dan $\frac{1}{2\frac {\log_6 6}{\log_6 2}}$
of nog $\frac{\log_6 2}{2 \ \log_6 6 = 1}$
het tweede deel wordt dan op analoge wijze
$\frac{\log_6 3}{2 \ \log_6 6 = 1}$
beide optellen en eigenschapje voor optellen van logaritmen geeft ons
$\frac{\log_6 2 \cdot 3 = 1}{2}$ of dus $1/2$