Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Canada › CanMO › 1973 › som

som

Tags:

Opgave - CanMO 1973 vraag 7

Je weet dat

$$\frac11=\frac12+\frac12;\ \frac12=\frac13+\frac16;\ \frac13=\frac14+\frac1{12};\ \frac14=\frac15+\frac1{20}.$$

Formuleer een algemene wet verondersteld door deze voorbeelden en bewijs ze.
Bewijs dat voor ieder natuurlijk getal groter dan 1 er natuurlijke getallen $i$ en $j$ bestaan zodat

$$\frac1n=\frac1{i(i+1)}+\frac1{(i+1)(i+2)}+\frac1{(i+2)(i+3)}+\cdots+ \frac1{(j(j+1)}.$$

Oplossing

Ingediend door De Koning

misschien heb ik de vraag niet goed begrepen want 't lijkt zo gemakkelijk
maar goed

$$\frac1n= \frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}$$

en dan met inductie verder, 't heb geen zin om het algemeen op te schrijven maar 't is wel duidelijk zeker

of allez kom een voorbeeldje

$$\frac13= \frac14+\frac1{12}=\frac15+\frac1{12}+\frac1{20}=\frac16+\frac1{12}+\frac1{20}+\frac1{30}$$

ge moet dus juist zo lang verder doen tot het eerste getal in de som dus in de noemer $(n-1)n$ heeft staan