CanMO 1972
Vraag 1 Opgelost!
Gegeven zijn drie verschillende eenheidscirkels, met elke cirkel rakend aan de andere twee. Vind de stralen van de cirkels die raken aan alle drie de cirkels.
Vraag 2 Opgelost!
Zij $a_1,a_2,...,a_n$ positieve reële getallen. Definieer $M$ als de som van alle producten van paren $a_ia_j$ $(i
Bewijs dat het kwadraat van ten minste één van de getallen $a_1,a_2,...,a_n$ niet groter is dan $2M/n(n-1)$.
Vraag 3 Opgelost!
a) Bewijs dat 10201 samengesteld is in iedere basis groter dan 2.
b) Bewijs dat 10101 samengesteld is in iedere basis.
Vraag 4
Omschrijf de constructie van een vierhoek $ABCD$, gegeven:
(i) de lengtes van de vier zijden;
(ii) $AB$ en $CD$ parallel;
(iii) $BC$ en $DA$ niet snijdend.
Vraag 5 Opgelost!
Bewijs dat de vergelijking $x^3+11^3=y^3$ geen oplossing heeft in natuurlijke getallen $x$ en $y$.
Vraag 6 Opgelost!
Zij $a$ en $b$ twee verschillende reële getallen. Bewijs dat er gehele getallen $m$ en $n$ bestaan zodat $am+bn<0,bm+an>0$.
Vraag 7
a) Bewijs dat de waarden van $x$ waarvoor $x=(x^2+1)/198$ tussen 1/198 en 197,99494949... liggen.
b) Gebruik het resultaat van a) om te bewijzen dat $\sqrt2<1,41\overline{421356}$.
c) Is het waar dat $\sqrt2<1,41421356$?
Vraag 8 Opgelost!
Tijdens een verkiezingscampagne worden er $p$ verschillende beloftes gemaakt door de verschillende politieke partijen ($p>0$). Terwijl verscheidene partijen dezelfde beloftes mogen maken, hebben elke twee partijen op zijn minst één belofte gemeenschappelijk. Er zijn ook geen twee partijen met exact dezelfde verzameling beloftes. Bewijs dat er niet meer dan $2^{p-1}$ partijen zijn.
Vraag 9
Vier verschillende rechten $L_1,L_2,L_3,L_4$ zijn gegeven in het vlak. $L_1$ en $L_2$ zijn respectievelijk parallel met $L_3$ en $L_4$. Vind de meetkundige plaats van een punt zodanig dat de som van de afstanden van het punt tot de vier rechten constant is.
Vraag 10 Opgelost!
Wat is het maximum aantal termen in een meetkundige rij, met rede groter dan 1, als alle termen uit de verzameling natuurlijke getallen komt van 100 tot en met 1000?
