Putnam 2001
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Een verzameling $S$ is uitgerust met een bewerking $*$ waarvoor geldt dat voor alle $a,b\in S$, $a*b\in S$, alsook $(a*b)*a=b$ $\forall a,b\in S$.
Bewijs dat dan geldt dat $a*(b*a)=b$ $\forall a,b\in S$.
Vraag 2
We hebben $n$ munten die we elk op zijn beurt werpen.
De kans op kop van de (vervalste) $k^{de}$ munt is $\tfrac{1}{(2k+1)}$.
Wat is de kans dat er een oneven aantal keer kop werd gesmeten na die $n$ keer?
(in functie van $n$)
Vraag 3
Men beschouwt de veelterm $P_m(x)=x^4-(2m+4)x^2+(m-2)^2$ in functie van een geheel getal $m.$
Voor welke waarden van $m$ is $P_m(x)$ het product van twee niet-consante polynomen met gehele coefficienten?
Vraag 5
Vind alle gehele oplossingen voor $ a^{n+1}-(a+1)^n=2001 $ waarbij $a,n>0.$
Vraag 6
Kan men een parabool tekenen in een cirkel met straal $1$ zodat het stuk van die parabool binnen de cirkel een lengte geeft $>4$ (=2*D)?
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
$n$ is een even natuurlijk getal, men schrijft de getallen $1, 2, \cdots, n^2$ in de vakken van een $n \times n$ bord zodat de $k^{de}$rij, van links naar rechts de getallen
$ (k-1)n + 1, \ (k-1)n + 2, \ \cdots, \ (k-1)n + n$ bevat.
De vakjes worden gekleurd zodat de helft v.d. vakjes in een rij of kolom rood is en de andere $\frac{n}{2}$ vakjes zwart.
Bewijs dat de som van de rode waarden = som van de zwarte waarden.
Vraag 2
Vind alle reele oplossingen $(x,y)$ voor het stelsel:
$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{2y}= (x^2 + 3y^2)(3x^2 + y^2) $$
$$\frac {1}{x} - \frac{1}{2y} = 2(y^4 - x^4).$$
Vraag 3
Als $\left< n \right> $ de gehele waarde is die het dichts ligt bij $n^{0,5}$.
Vind dan de waarde van $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {2^{\left< n \right>} + 2^{- \left< n \right>}}{2^n}$
Vraag 5
$a,b \in \left]0,\tfrac{1}{2}\right[$ en $g$ is een continu functie over $ \mathbb R$ zodat $g(g(x))=ag(x)+bx$ voor alle reele $x$ geldt.
Bewijs dat $g(x)=cx$ waarbij $c^2-ac-b=0.$
