RMM 2018

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ABCD$ een koordenvierhoek en zij $P$ een punt op de zijde $[AB]$.
De diagonaal $AC$ snijdt $DP$ in $Q.$
De rechte door $P$ evenwijdig met $CD$ snijdt de halfrechte $[CB)$ voorbij $B$ in het punt $K.$
De rechte door $Q$ evenwijdig met $BD$ snijdt de halfrechte $[CB)$ voorbij $B$ in het punt $L.$
Bewijs dat de omgeschreven cirkels van de driehoeken $BKP$ en $ CLQ$ rakend zijn.

Vraag 2

Bepaal of er niet-constante veeltermen $P(x),Q(x)$ met reëele coëfficiënten bestaan die voldoen aan de gelijkheid $P(x)^{10}+P(x)^9=Q(x)^{21}+Q(x)^{20}.$

Vraag 3

Ann en Bob spelen een spel op de zijden van een oneindig vierkant rooster, waarbij ze elk om beurt spelen. Ann mag als eerste spelen.
In een beurt mogen ze een zijde kiezen die nog niet gekozen is en een richting toekennen.
Bob wint als er een gerichte cykel (cykel met alle zijden in dezelfde richting) gecreëerd werd.
Heeft Bob een winnende strategie?

Dag 2

Vraag 1

Zij $a,b,c,d$ natuurlijke getallen met $ad \not= bc$ en $ggd(a,b,c,d)=1.$
Bewijs dat als $n$ over alle natuurlijke getallen loopt, de waarden $ggd(an+b,cn+d)$ exact alle delers van een bepaald getal aanneemt.

Vraag 2

Zij $n$ een natuurlijk getal en neem $2n$ punten op de omtrek van een cirkel.
Een configuratie wordt gevormd als volgt:
Splits de $2n$ punten in $n$ paren en voor elk paar tekenen we een pijl (georiënteerd lijnstuk) tussen beide punten.
De configuratie is goed als geen twee pijlen elkaar kruisen en er geen twee pijlen $\vec{AB}, \vec{CD}$ bestaan zodat $ABCD$ een convexe vierhoek is die volgens de klok gericht is.

Bepaal het aantal goeie configuraties.

Vraag 3

Zij $\Gamma$ een cirkel, $\ell$ een rechte rakend aan $\Gamma$ en $\Omega$ een andere cirkel, zodat $\Gamma$ en $\Omega$ aan een verschillende kant van $\ell$ ligt.
De raaklijnen van $\Gamma$ van een variabel punt $X$ op $\Omega$ snijden $\Gamma$ in $Y$ en $Z$.
Bewijs dat, als $X$ over $\Omega$ beweegt, de omcirkel van $XYZ$ rakend is aan twee vaste cirkels.