Rakende cirkels
Opgave - RMM 2018 dag 1 vraag 1
Zij $ABCD$ een koordenvierhoek en zij $P$ een punt op de zijde $[AB]$.
De diagonaal $AC$ snijdt $DP$ in $Q.$
De rechte door $P$ evenwijdig met $CD$ snijdt de halfrechte $[CB)$ voorbij $B$ in het punt $K.$
De rechte door $Q$ evenwijdig met $BD$ snijdt de halfrechte $[CB)$ voorbij $B$ in het punt $L.$
Bewijs dat de omgeschreven cirkels van de driehoeken $BKP$ en $ CLQ$ rakend zijn.
- login om te reageren
Oplossing
Zij $\omega$ de omgeschreven cirkel van koordenvierhoek $ABCD$. Zij $S=\omega \cap PD$ zodat $S \neq D$. We zullen volgende lemma's bewijzen:
Lemma 1: $SQCL$ is een koordenvierhoek.
Bewijs: $\widehat{SQL}$
$=\widehat{SDB}$ ($QL \parallel DB$)
$=\widehat{SCL}$ ($SDCB$ is een koordenvierhoek), waarmee het lemma bewezen is.
Lemma 2: $SPBK$ is een koordenvierhoek.
Bewijs: $\widehat{SPK}$
$=\widehat{SDC}$ ($PK \parallel DC$)
$=\widehat{SBK}$ ($SDCB$ is een koordenvierhoek), waarmee het lemma bewezen is.
Lemma 3: $\widehat{SBP}=\widehat{SCQ}$.
Bewijs: $\widehat{SBP}$
$=\widehat{SBA}$
$=\widehat{SCA}$ ($SBCA$ is een koordenvierhoek, gelijke omtrekshoeken)
$=\widehat{SCQ}$
Merk nu op dat vanwege lemma's 1 en 2 geldt dat de omgeschreven cirkels van $\Delta BKP$ en $\Delta CLQ$: $S$ als gemeenschappelijk punt hebben. Wegens lemma 3 en de stelling van de raakomtrekshoek geldt tevens dat de raaklijn door $S$ aan de omgeschreven cirkel van $\Delta BKP$ een gelijke hoek zou maken met $QD$ als de raaklijn door $S$ aan de omgeschreven cirkel van $\Delta CLQ$. Tevens is de oriëntatie van die hoek dezelfde, omdat $P$ en $Q$ zich aan dezelfde kant op $QD$ ten opzichte van $S$ bevinden en $B$ en $C$ zich aan dezelfde kant van $QD$ bevinden. Daarom zal de raaklijn dezelfde zijn, en raken beide cirkels dus. Q.E.D.