RMM 2013

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $a$ een strikt natuurlijk getal, definieer een rij getallen$ x_1, x_2,\cdots$ via
$x_1 = a$ and $x_{n+1} = 2x_n+1$ $\forall n \ge 1$. Laat $y_n = 2^{x_n}-1$ zijn. Vind de grootst mogelijke waarde voor $k$ zodat voor een bepaalde $a$ : $y_1,y_2 \cdots y_k$ allen priem zijn.

Vraag 2

Bestaat er een paar $ (g, h)$ van functies $g, h R \to R$ zodat de enige functie $f R \to R$ die voldoet aan$ f(g(x)) = g(f(x))$ en $ f(h(x)) =
h(f(x))$ $\forall x \in R $ de identiteitsfunctie $f(x)=x$ is?

Vraag 3

Zij $ABCD$ een koordenvierhoek in cirkel $\omega.$
De lijnen $AB$ en $ CD$ snijden in $ P$, de lijnen $AD$en $BC$ snijden in $Q$,de diagonalen $AC$ en $BD$ snijden in$ R$.
$M$ is het midden van
$[PQ]$, en $K$het gemeenschappelijke punt van $MR$ en cirkel $\omega$.
Bewijs dat de omcirkel van $\triangle KPQ$ en $\omega$ rakend zijn.

Dag 2

Vraag 1

Zij $P$ en $Q$ $2$ convexe vierhoeken in het vlak.
(de rand wordt meegerekend met het oppervlak van de figuur: gesloten vierhoeken binnen topologie)
In het gemeenschappelijke oppervlak kiest men een punt $O.$
Er geldt dat iedere lijn $l$ door $ O$ dat het lijnstuk $l \cup P$ strikt groter is dan de lengte van het lijnstuk $l \cup Q.$
Is het mogelijk dat de verhouding van de oppervlakte van $Q$ gedeeld door de oppervlakte van $P$ strikt groter is dan $1.9 ?$

Vraag 2

Gegeven een natuurlijk getal $k\ge 1$ en neem $a_1=1.$
We defenieren $a_n$ voor $n \ge 2$
als de kleinste $x > a_{n-1}$ zodat
$x = 1 + \sum ^{n-1}_{
i=1}
\lfloor{
\sqrt[k]{\frac x{
a_i}}\rfloor}$
Bewijs dat ieder priemgetal voorkomt in de rij $a_1,a_2 \cdots$

Vraag 3

$2n$ verschillende pionnen zijn geplaatst op de hoekpunten van een regelmatige $2n-hoek$.
Een stap bestaat er in om de $2$ pionnen op een zijde te wisselen van plaats.
Na een aantal stappen zijn alle koppels pionnen exact $1$ keer gewisseld.
Bewijs dat er een zijde is waarover nooit pionnen werden gewisseld.

Vraag 3

Op een regematige n-hoek worden $n$ pionnen in de hoekpunten geplaatst.
Afwisselend kiest men een zijde en wisselt de $2$ pionnen van hoekpunt vd zijde.
Op het einde, wordt opgemerkt dat iedere $2$ pionnen exact $1$ keer werden gewisseld.
Bewijs dat er een zijde is, die nooit werd gekozen.

hint: extremaalprincipe: bekijk de pion die door het meest verschillende zijden werd gewisseld