CGMO 2023
Dag 1
Vraag 1
Vind alle paren $(a, b, c)$ van positieve gehele getallen zodanig dat
$$\frac{a}{2^a} = \frac{b}{2^b} + \frac{c}{2^c}.$$
Vraag 2
Op een schaakbord van $8\times 8$ plaats je een stok op elke rand van elk rooster (op een gemeenschappelijke rand van twee roosters wordt slechts één stok geplaatst). Wat is het minimum aantal stokken dat moet worden verwijderd zodat de overgebleven stokken geen enkel rechthoek vormen?
Vraag 3
Laat $a, b, c, d \in [0,1]$ zijn. Bewijs dat
$$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+d}+\frac{1}{1+d+a}\leq \frac{4}{1+2\sqrt[4]{abcd}}$$
Vraag 4
Laat $ABCD$ een ingeschreven vierhoek zijn in een cirkel $\omega$ met $AC\ \bot \ BD$. Definieer $E$ als het snijpunt van de lijnen $AC$ en $BD$. Laat $F$ een punt zijn op lijnsegment $AD$ en definieer $P$ als het snijpunt van de halflijn $FE$ en $\omega$. Laat $Q$ een punt zijn op lijnsegment $PE$ zodat $PQ\cdot PF = PE^2$. Laat $R$ een punt zijn op lijn $BC$ zodat $QR\ \bot \ AD$. Bewijs dat $PR=QR$.
Dag 2
Vraag 1
Laat $\Delta ABC$ een scherphoekige driehoek zijn met $AB < AC$, $H$ een punt op $BC$ zodanig dat $AH\ \bot BC$, en $G$ het zwaartepunt van $\Delta ABC$. Laat $P$ en $Q$ de punten zijn waar de ingeschreven cirkel van $\Delta ABC$ raakt aan respectievelijk $AB$ en $AC$. Definieer $M$ en $N$ als het middelpunt van $PB$ en $QC$ respectievelijk. Laat $D$ en $E$ punten zijn op de ingeschreven cirkel van $\Delta ABC$ zodanig dat $\angle BDH + \angle ABC = 180^\circ$ en $\angle CEH + \angle ACB = 180^\circ$. Bewijs dat de lijnen $MD$, $NE$ en $HG$ een gemeenschappelijk punt delen.
Vraag 2
Laat $x_i\ (i = 1, 2, \cdots 22)$ reële getallen zijn zodat $x_i \in [2^{i-1},2^i]$. Vind de maximale mogelijke waarde van
$$(x_1+x_2+\cdots +x_{22})(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_{22}})$$
Vraag 3
Laat $p$ een oneven priemgetal zijn. Stel dat positieve gehele getallen $a, b, m, r$ voldoen aan $p\mid ab$ en $ab > m^2$. Bewijs dat er hoogstens één paar onderling priemgetallen $(x, y)$ bestaat zodanig dat $ax^2+by^2=mp^r$.
Vraag 4
Laat $P_i(x_i,y_i)\ (i=1,2,\cdots,2023)$ $2023$ verschillende punten zijn in een vlak uitgerust met een rechthoekig coördinatenstelsel. Voor $i\neq j$ definiëren we $d(P_i,P_j) = |x_i - x_j| + |y_i - y_j|$. Definieer
$$\lambda = \frac{\max_{i\neq j}d(P_i,P_j)}{\min_{i\neq j}d(P_i,P_j)}$$.
Bewijs dat $\lambda \geq 44$ en geef een voorbeeld waarin de gelijkheid geldt.
