EGMO 2023

Dag 1

Vraag 1

Er bestaan $n\ge 3$ (strikt) positieve reële getallen $a_1,a_2,\ldots
,a_n$ en voor elke $1\le i\le n$ definiëren we $b_i =\frac{a_{i-1}
+ a_{i+1}}{a_i}$ (hier definiëren we $a_0$ als $a_n$ en $a_{n+1}$
als $a_1$). Veronderstel dat voor alle $1 \leq i,j \leq n$ geldt dat $a_i \le a_j$ dan en slechts dan als $b_i \le b_j$.

Bewijs dat $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $\triangle ABC$ een scherphoekige driehoek en $D$ het punt op de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$, zodat $AD$ een middellijn van deze cirkel is. Veronderstel dat er punten $K$ en $L$ bestaan op het inwendige van zijden $AB$ respectievelijk $AC$, zodat $DK$ en $DL$ allebei raken aan de omgeschreven cirkel van $\triangle AKL$.

Bewijs dat de lijn $KL$ door het hoogtepunt gaat van $\triangle ABC$.

Het hoogtepunt van een driehoek is het punt waar de hoogtelijnen elkaar snijden.

Vraag 3 Opgelost!

Laat $k$ een (strikt) positief geheel getal. Lexi heeft een woordenboek $\mathcal W$
dat bestaat uit een aantal woorden van lengte $k$ die alleen de letters $A$ en $B$ bevatten. Lexi wil graag in elk vakje van een $k \times k$ bord een letter $A$ of een letter $B$ schrijven, zodat elke kolom (van boven naar beneden) een woord uit het woordenboek $\mathcal W$ is en elk rij (van links naar rechts) ook een woord uit het woordenboek $\mathcal W$ is.

Wat is het kleinste gehele getal $m$ zodat als $\mathcal W$ ten minste $m$ verschillende woorden bevat, Lexi altijd op deze manier haar bord kan invullen onafhankelijk van de woorden in het woordenboek $\mathcal W$?

Dag 2

Vraag 1

Turbo de slak zit op een punt op een cirkel met omtrek 1. Voor een gegeven oneindig rijtje van (strikt) positieve reële getallen $c_1, c_2,
c_3, \ldots$ glijdt Turbo achtereenvolgens de afstanden $c_1, c_2, c_3,
\ldots$ op de cirkel, waarbij zij iedere keer mag kiezen om met de klok mee of tegen de klok in te glijden.
\medskip

\noindent Bekijk bijvoorbeeld het geval waarin $c_1=0{,}4$; $c_2=0{,}6$; $c_3=0{,}3$; $\ldots$,
dan kan Turbo op de volgende manier beginnen met glijden:

(Zie https://www.egmo.org/egmos/egmo12/paper-day2-Dutch.pdf voor de tekening)

Bepaal het grootste reële getal $C > 0$ dat aan de volgende eigenschap voldoet:
voor elk oneindig rijtje van (strikt) positieve reële getallen $c_1, c_2, c_3, \ldots$
met $c_i < C$ voor alle $i$ kan Turbo ervoor zorgen (door het rijtje goed te bestuderen) dat er minimaal één punt op de cirkel is die zij nooit bereikt en waar zij ook nooit langsglijdt.

Vraag 2

Zij $s \geq 2$ een geheel getal. Voor elk positief geheel getal $k$ definiëren we zijn \emph{draaiing} $k'$ als volgt: Schrijf $k$ als $as + b$ met $a$ en $b$ niet-negatieve gehele getallen en $b < s$. Dan is zijn draaiing $k'= bs + a$. Voor een positief geheel getal $n$ bekijken we het oneindige rijtje $d_1, d_2, \ldots$ waar $d_1 = n$ en voor alle gehele $i\geq 1$ het getal $d_{i+1}$ de draaiing is van $d_i$.

Bewijs dat dit rijtje het getal $1$ bevat dan en slechts dan als de rest van $n$
na deling door $s^2-1$ gelijk is aan $1$ of $s$.

Vraag 3

Zij $\triangle ABC$ een driehoek met omgeschreven cirkel $\Omega$. Laat $S_b$ en $S_c$ respectievelijk de middens van de bogen $AC$ en $AB$ zijn die niet het derde punt bevatten.
Laat $N_a$ het midden van de boog $BC$ die het punt $A$ bevat. Zij $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel van $\triangle ABC$. Zij $\omega_b$ de cirkel die $AB$ raakt en ook $\Omega$ inwendig raakt in het punt $S_b$. Zij $\omega_c$ de cirkel die $AC$ raakt en ook $\Omega$ inwendig raakt in het punt $S_c$. Bewijs dat de lijn (rechte) $IN_a$ en de lijn (rechte) door de snijpunten van $\omega_b$ en $\omega_c$ elkaar snijden op $\Omega$.

De ingeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel die in de driehoek ligt en die raakt aan alle drie de zijden.