officiele vraagstelling EGMO Q2
Opgave - EGMO 2023 dag 1 vraag 2
Zij $\triangle ABC$ een scherphoekige driehoek en $D$ het punt op de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$, zodat $AD$ een middellijn van deze cirkel is. Veronderstel dat er punten $K$ en $L$ bestaan op het inwendige van zijden $AB$ respectievelijk $AC$, zodat $DK$ en $DL$ allebei raken aan de omgeschreven cirkel van $\triangle AKL$.
Bewijs dat de lijn $KL$ door het hoogtepunt gaat van $\triangle ABC$.
Het hoogtepunt van een driehoek is het punt waar de hoogtelijnen elkaar snijden.
- login om te reageren
Oplossing
Zij $M$ het middelpunt van $KL$.
Bewering 1: driehoek $KDL$ is gelijkbenig met tophoek $D$.
Aangezien $KD$ en $DL$ beide raken aan de omgeschreven cirkel van $AKL$, volgt vanwege de raaklijn-omtrekshoekstelling de bewering;
$\angle DKM = \angle KAL = \hat A = \angle DLM$
Bewering 2: $KMDB$ en $MLCD$ zijn beide cyclisch
Dit volgt doordat $\angle KMD=\angle ABD=\angle KBD=90°$ (DKL is een gelijkbenige driehoek en AD de middellijn van (ABC)).
Op dezelfde manier kun je aantonen dat MLCD cyclisch is.
Bewering 3: $BM$ en $CM$ zijn allebei hoogtelijnen van de driehoek $ABC$.
Zij P en Q de snijpunten van BM en CM met AC en AB.
Merk op dat $\angle ABP=\angle KBM=\angle KDM=90°-\angle MKD=90°-\hat A$, wat binnen driehoek $APB$ betekent dat $\angle APB=90°$ en dus is $BP=BM$ de hoogtelijn uit $B$. Analoog is $CM$ de hoogtelijn uit $C$.
Hieruit volgt dat $M$ het hoogtepunt van de driehoek $ABC$ is.