EGMO 2018

Dag 1

Vraag 1

Zij $ABC$ een driehoek met $|CA|=|CB|$ en $\angle ACB =120^\circ$, en zij $M$ het midden van $[AB]$. Zij $P$ een variabel punt op de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$ en zij $Q$ het punt op lijnstuk $[CP]$ zodat $|QP|=2|QC|.$ De lijn door $P$ loodrecht op $AB$ snijdt de lijn $MQ$ in een uniek punt $N$. Bewijs dat er een vaste cirkel bestaat waar $N$ altijd op ligt, onafhankelijk van de positie van $P.$

Vraag 2 Opgelost!

Beschouw de verzameling \[A = \left\{1+\frac{1}{k} : k=1,2,3,4,\cdots \right\}.\]

a)
Bewijs dat elk geheel getal $x \ge 2$ geschreven kan worden als het product van één of meer (niet noodzakelijk verschillende) elementen van $A$.

b)
Voor elk geheel getal $x \ge 2$, definiëren we $f(x)$ als het kleinste gehele getal zodat $x$ geschreven kan worden als het product van $f(x)$ (niet noodzakelijk verschillende) elementen van $A$. Bewijs dat er oneindig veel paren $(x,y)$ van gehele getallen bestaan met $x \ge 2, y \ge $2 en $f(xy) < f(x)+f(y).$
(Paren $(x_1,y_1)$ en $(x_2,y_2)$ zijn verschillend dan en slechts dan als $x_1 \neq x_2$ of $y_1 \neq y_2$)

Vraag 3

De $n$ deelnemers van een EGMO heten $C_1,\ldots, C_n.$ Na afloop van de wedstrijd vormen ze een rij voor het restaurant waarbij de volgende regels gevolgd worden.
• De Jury bepaalt de beginvolgorde van de deelnemers in de rij.
• Daarna doet de Jury iedere minuut een zet door een geheel getal $i$ te kiezen met $1\le i \le n$.

– Als deelnemer $C_i$ ten minste $i$ andere deelnemers voor zich heeft staan, betaalt ze een euro aan de Jury en gaat ze precies $i$ plaatsen naar voren in de rij.
– Alsdeelnemer $C_i$ minder dan $i$ andere deelnemers voor zich heeft staan, gaat het restaurant open en eindigt het proces.

(a) Bewijs dat dit proces niet oneindig lang door kan gaan.
(b) Bepaal voor elke $n$ het grootste aantal euro’s dat de Jury kan verzamelen door slim de beginvolgorde en de daaropvolgende zetten te kiezen.

Dag 2

Vraag 1

Een domino is een $1\times 2$- of $2\times 1$-tegel. Zij $n \ge 3$ een geheel getal. Er worden domino’s op een $n \times n$-bord gelegd zodat elke domino precies twee vakjes van het bord bedekt en de domino’s niet overlappen.
De waarde van een rij of kolom is het aantal domino’s dat minstens één vakje in die rij of kolom bedekt. Het $n \times n$-bord met domino’s heet gebalanceerd als er een $k \ge 1$ bestaat zodat elke rij en elke kolom waarde k heeft.
Bewijs dat er voor elke $n \ge 3$ een gebalanceerd $n \times n$-bord met domino’s bestaat, en bepaal het minimale aantal domino’s dat nodig is voor zo’n gebalanceerd $n \times n$-bord.

Vraag 2

Zij $\Gamma $ de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC.$ Een cirkel $\Omega$ raakt aan lijnstuk $AB$ en raakt verder aan $\Gamma $ in een punt dat aan dezelfde kant van lijn $AB$ ligt als $C.$ De bissectrice van $\angle BCA$ snijdt $\Omega$ in twee verschillende punten $P$ en $Q.$ Bewijs dat $\angle ABP = \angle QBC$.

Vraag 3

(a) Bewijs dat voor elk reëel getal $t$ met $0 < t < \frac{1}{2}$ er een positief geheel getal $n$ bestaat met de volgende eigenschap: voor elke verzameling $S$ van $n$ positieve gehele getallen bestaan er twee verschillende elementen $x$ en $y$ van $S$ en een niet-negatief geheel getal $m$ (d.w.z. $m \ge 0$) zodat \[ |x-my|\leq ty.\]

(b) Bepaal of er voor elk reëel getal $t$ met $0 < t < \frac{1}{2}$ een oneindige verzameling $S$ van positieve gehele getallen bestaat zodat \[|x-my| > ty\] voor elke twee verschillende elementen $x$ en $y$ van $S$ en elk positief geheel getal m (d.w.z. $m > 0$).