EGMO 2017
Dag 1
Vraag 1
Zij ABCD een convexe vierhoek met $\angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ}$ en $\angle ABC > \angle CDA$. Laat Q en R punten zijn op respectievelijk lijnstukken BC en CD, zodat de lijn QR de lijnen AB en AD snijdt in respectievelijk P en S. Gegeven is dat $|PQ| = |RS|$. Zij M het midden van BD en N het midden van QR. Bewijs dat de punten M, N, A en C op één cirkel liggen.
Vraag 2
Bepaal het kleinste positieve gehele getal k waarvoor er een kleuring van de positieve gehele getallen $\mathbb{Z_{>0}}$ met $k$ kleuren en een functie $f \mathbb{Z_{>0}} \to \mathbb{Z_{>0}} $ bestaan met de volgende twee eigenschappen:
(i) Voor alle positieve gehele getallen m,n met dezelfde kleur geldt $f(m+n)= f(m)+f(n)$.
(ii) Er bestaan positieve gehele getallen $m,n$ zodat $f(m+n) \not= f(m)+f(n)$.
Bij een kleuring van $\mathbb{Z_{>0}}$ met k kleuren wordt elk positief geheel getal gekleurd in precies één van de k kleuren. In zowel (i) als (ii) hoeven de positieve gehele getallen $m,n$ niet noodzakelijk verschillend te zijn.
Vraag 3
In het vlak bevinden zich $2017$ lijnen, waarbij geen drie lijnen door hetzelfde punt gaan. Turbo de slak zit op een punt op precies één van de lijnen en begint over de lijnen te glijden, namelijk op de volgende manier: ze beweegt over een bepaalde lijn totdat ze een snijpunt van twee lijnen tegenkomt. Vanaf het snijpunt vervolgt ze haar weg over de andere lijn, waarbij ze linksaf of rechtsaf slaat; ze kiest hierbij om en om voor links en rechts. Behalve bij snijpunten verandert ze nooit van glijrichting. Kan er een lijnstuk bestaan waar Turbo in beide richtingen een keer overheen glijdt gedurende haar reis?
Dag 2
Vraag 1
Zij $n \ge 1$ een geheel getal en laat $t_1 < t_2 < \ldots < t_n$ positieve gehele getallen zijn. In een groep van $t_n +1$ mensen worden wat potjes schaak gespeeld. Elke twee personen spelen hooguit één keer tegen elkaar. Bewijs dat het mogelijk is dat aan allebei de volgende voorwaarden tegelijk voldaan wordt:
(i) Voor elke persoon is het aantal potjes schaak dat hij of zij speelt, gelijk aan één van de getallen $t_1,t_2,\ldots,t_n$.
(ii) Voor elke i met $1\le i \le n$ is er iemand die precies $t_i$ potjes schaak speelt.
Vraag 2
Zij $n \ge 2$ een geheel getal. Een $n$-tal $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ niet-noodzakelijk verschillende positieve gehele getallen heet duur als er een positief geheel getal $k$ bestaat zodat $(a_1 +a_2)(a_2 +a_3)\cdots(a_{n-1} +a_n)(a_n +a_1)=2^{2k−1}$.
a) Bepaal alle gehele getallen $n \ge 2$ waarvoor er een duur $n$-tal bestaat.
b) Bewijs dat er voor elk oneven positief geheel getal m een geheel getal $n \ge 2$ bestaat zodat er een duur $n$-tal is waar $m$ in zit.
Vraag 3
Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek waarin geen twee zijden even lang zijn. Laat G het zwaartepunt van de driehoek zijn en $O$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel. De spiegelbeelden van $G$ en $O$ in zijden $BC,CA,AB$ noemen we respectievelijk $G_1,G_2,G_3$ en $O_1,O_2,O_3$. Bewijs dat the omgeschreven cirkels van driehoeken $G_1G_2C, G_1G_3B, G_2G_3A, O_1O_2C, O_1O_3B, O_2O_3A$ en $ABC$ een gemeenschappelijk punt hebben.
