een gekleurde functievergelijking

Bepaal het kleinste positieve gehele getal k waarvoor er een kleuring van de positieve gehele getallen $\mathbb{Z_{>0}}$ met $k$ kleuren en een functie $f \mathbb{Z_{>0}} \to \mathbb{Z_{>0}} $ bestaan met de volgende twee eigenschappen:
(i) Voor alle positieve gehele getallen m,n met dezelfde kleur geldt $f(m+n)= f(m)+f(n)$.
(ii) Er bestaan positieve gehele getallen $m,n$ zodat $f(m+n) \not= f(m)+f(n)$.

Bij een kleuring van $\mathbb{Z_{>0}}$ met k kleuren wordt elk positief geheel getal gekleurd in precies één van de k kleuren. In zowel (i) als (ii) hoeven de positieve gehele getallen $m,n$ niet noodzakelijk verschillend te zijn.