EGMO 2012
Dag 1
Vraag 1
Zij ABC een driehoek met O het middelpunt van de omgeschreven cirkel. De punten $D, E$ en $F \in [BC], [CA]$ en $[AB]$, zodat $DE \perp CO$ staat en DF
loodrecht op BO staat. (Met in het inwendige bedoelen we dat bijvoorbeeld punt D op de lijn BC ligt, met D tussen B en C.)
Zij K het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek AFE. Bewijs dat $ DK \perp BC.$
Vraag 2
Zij n een positief geheel getal. Bepaal de grootste gehele m met de volgende eigenschap: een
tabel met m rijen and n kolommen kan gevuld worden met reële getallen op zo'n manier dat voor elk tweetal
verschillende rijen uit de tabel, waarbij de ene rij van links naar rechts gevuld is met de getallen $a_1, a_2,\cdots , a_n$
en de andere rij van links naar rechts met de getallen $b_1, b_2,\cdots , b_n$ geldt:
max $(|a_1 - b_1|, |a_2 - b_2|, \cdots |a_n - b_n|) = 1.$
Vraag 3 Opgelost!
Vind alle functies $f R \to R$ waarvoor geldt dat
$f(yf(x + y) + f(x))
= 4x + 2yf(x + y)$
voor alle$ x, y \in R$.
Vraag 4
Een verzameling A van gehele getallen noemen we somvol als elk element
$a \in A $ de som is van twee (niet noodzakelijk verschillende) elementen $b, c \in A.$ Een verzameling A van gehele
getallen noemen we nulsomvrij als 0 het enige gehele getal is dat niet te schrijven is als de som van de elementen
van een eindige, niet-lege deelverzameling van A. (waarbij ieder element van $A$ max $1$ keer mag voorkomen)
Bestaat er een somvolle, nulsomvrije verzameling van gehele getallen?
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
De getallen p en q zijn priem en voldoen aan
$\frac{p}{p + 1}+\frac{q + 1}{q}
=
\frac{2n}{n + 2}$
voor een zeker positief geheel getal n. Vind alle mogelijke waarden van $q-p.$
Vraag 2
Op de sociaal-netwerk-website Smoelenboek zijn er oneindig veel mensen geregistreerd. Som-
mige paren van (verschillende) mensen zijn geregistreerd als vrienden, maar elk persoon
heeft slechts eindig veel vrienden. Elke gebruiker heeft minstens een vriend. (Vriendschap
is wederzijds: als A een vriend is van B, dan is B ook een vriend van A.)
Elke gebruiker moet een van zijn vrienden tot zijn beste vriend benoemen. Als persoon
A persoon B benoemt tot zijn beste vriend, dan hoeft (helaas) B niet per se ook A te
benoemen tot zijn beste vriend. Een gebruiker die door een ander tot beste vriend is
benoemd, noemen we een 1-beste vriend. Algemener geldt: als n > 1 een positief geheel
getal is, dan noemen we een gebruiker eeen n-beste vriend als hij is benoemd tot beste
vriend van iemand die zelf een (n-1)-beste vriend is. Een gebruiker die een k-beste vriend
is voor elk positief geheel getal k, heet populair.
(a) Bewijs dat elke populaire gebruiker de beste vriend is van een andere populaire
gebruiker.
(b) Bewijs dat als mensen ook oneindig veel vrienden kunnen hebben, het dan mogelijk
is dat een populaire gebruiker van geen enkele andere populaire gebruiker de beste
vriend is.
Vraag 3 Opgelost!
Zij ABC een scherphoekige driehoek met omgeschreven cirkel $\tau$ en hoogtepunt H. Zij K een punt
op $\tau$ aan de andere kant van BC dan A. Zij L het spiegelbeeld van K in de lijn AB en zij M het spiegelbeeld
van K in de lijn BC. Zij E het tweede snijpunt van $\tau$ met de omgeschreven cirkel van driehoek BLM. Bewijs
dat de lijnen KH, EM en BC door één punt gaan. (Het hoogtepunt van een driehoek is het punt dat op alle
drie de hoogtelijnen ligt.)
Vraag 4
Een woord is een eindig rijtje letters uit een of ander alfabet. Een woord heet repeterend als het
bestaat uit twee of meer dezelfde woorden die achter elkaar geplakt zijn (zo zijn $ababab$ en $abcabc$ repeterend,
maar $ababa$ en $aabb$ niet). Bewijs dat als een woord de eigenschap heeft dat elke verwisseling van twee aangren-
zende letters zorgt dat het woord repeterend wordt, dan alle letters van het woord hetzelfde moeten zijn.
(Merk op dat je twee aangrenzende letters die hetzelfde zijn, ook mag verwisselen, waarbij het woord dus onveranderd blijft.)
