f-vgl R - R

Als we $x=0,y=0$ invullen vinden we dat $f(f(0))=0$, dus bestaat er een $n\in \mathbb{R}$ waarvoor $f(0)=n$ en $f(n)=0$. Nu vullen we $x=n,y=0$ in en we zien dat $f(f(n))=n=4n$, dus $f(0)=0$. Algemener vinden we voor $y=0$ dat $f(f(x))=4x$ en dat $f$ dus een bijectie is. Verder vinden we met $x=0,y=1$:
\[f(f(1))=4\cdot 1=2f(1)\Rightarrow f(1)=2 \Rightarrow f(f(1))=f(2)=4\]
Stel nu $x+y=1$, dan vinden we $f(2y+f(x))=4x+4y=4=f(2)$. Omdat $f$ een bijectie is kunnen we besluiten dat $2y+f(x)=2\Rightarrow f(x)=2x$. Als we dit controleren zien we dat dit inderdaad een oplossing is.