lange tekst-vraag

Op de sociaal-netwerk-website Smoelenboek zijn er oneindig veel mensen geregistreerd. Som-
mige paren van (verschillende) mensen zijn geregistreerd als vrienden, maar elk persoon
heeft slechts eindig veel vrienden. Elke gebruiker heeft minstens een vriend. (Vriendschap
is wederzijds: als A een vriend is van B, dan is B ook een vriend van A.)
Elke gebruiker moet een van zijn vrienden tot zijn beste vriend benoemen. Als persoon
A persoon B benoemt tot zijn beste vriend, dan hoeft (helaas) B niet per se ook A te
benoemen tot zijn beste vriend. Een gebruiker die door een ander tot beste vriend is
benoemd, noemen we een 1-beste vriend. Algemener geldt: als n > 1 een positief geheel
getal is, dan noemen we een gebruiker eeen n-beste vriend als hij is benoemd tot beste
vriend van iemand die zelf een (n-1)-beste vriend is. Een gebruiker die een k-beste vriend
is voor elk positief geheel getal k, heet populair.
(a) Bewijs dat elke populaire gebruiker de beste vriend is van een andere populaire
gebruiker.
(b) Bewijs dat als mensen ook oneindig veel vrienden kunnen hebben, het dan mogelijk
is dat een populaire gebruiker van geen enkele andere populaire gebruiker de beste
vriend is.