IMO 1998

Dag 1

Vraag 1

Een convexe vierhoek $ABCD$ heeft loodrechte diagonalen. De middelloodlijnen van $AB$ en $CD$ snijden in een uniek punt $P$ binnen de vierhoek $ABCD$. Bewijs dat $ABCD$ een koordenvierhoek is als en slechts als de driehoeken $ABP$ en $CDP$ gelijke oppervlaktes hebben.

Vraag 2 Opgelost!

In een wedstrijd zijn er $m$ deelnemers en $n$ juryleden, met $n\geq3$ een oneven natuurlijk getal. Iedere kandidaat wordt door ieder jurylid beoordeeld als geslaagd of gebuisd. Veronderstel dat ieder koppel juryleden akkoord gaat met elkaar over maximum $k$ kandidaten. Bewijs dat
$$\frac km\geq\frac{n-1}{2n}.$$

Vraag 3 Opgelost!

Voor elk natuurlijk getal $n$, stellen we $\tau(n)$ gelijk aan het aantal positieve delers van $n$ (zichzelf en 1 meegerekend). Bepaal alle natuurlijke getallen $m$ waarvoor er een natuurlijk getal $n$ bestaat zodat $\displaystyle{\frac{\tau(n^2)}{\tau(n)}=m}$.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal alle koppels $(x,y)$ van natuurlijke getallen zodat $x^2y+x+y$ deelbaar is door $xy^2+y+7$.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $I$ het midden van de ingeschreven cirkel van driehoek $ABC$. Zij $K,L,M$ de raakpunten van de ingeschreven cirkel van $ABC$ met de zijden $AB,BC,CA$ respectievelijk. De rechte $t$ gaat door $B$ en is parallel met $KL$. De rechten $MK$ en $ML$ snijden $t$ in de punten $R$ en $S$. Bewijs dat $\angle RIS$ scherp is.

Vraag 3

Bepaal de kleinst mogelijke waarde voor $f(1998)$, met $f\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ een functie die voor alle $m,n\in\mathbb N$ voldoet aan
$$f(n^2f(m))=m(f(n))^2.$$