getaltheorie 1

Opgave - IMO 1998 dag 2 vraag 1

Bepaal alle koppels $(x,y)$ van natuurlijke getallen zodat $x^2y+x+y$ deelbaar is door $xy^2+y+7$.

Oplossing

Er geldt: $ xy^2+y+7 | y(x^2y+x+y)-x(xy^2+y+7)=y^2-7x$

Er zijn 3 mogelijkheden:

* $xy^2+y+7\leq y^2-7x$, maar $x,y$ zijn natuurlijk, dus als $x\neq 0$ zal $LL>RL$. Als $x=0$, dan moet $y+7 | y^2$, enkel mogelijk als ook $y=0$.

* $xy^2+y+7\leq 7x-y^2$, dus $x(7-y^2)\geq y^2+y+7$. Nu is $RL$ steeds positief, dus $7-y^2>0$, waaruit volgt dat $y=0,1,2$.
Als $y=0$, dan $7 | x$ (vul in in geg. vgl.) en dus $(7a,0)$ is een oplossing ($a\in \mathbb{N}$).
Als $y=1$, dan $x+8 | 7x-1$ waaruit volgt dat $x+8 | 57=3\cdot 19$ met als oplossing $(49,1)$ en $(11,1)$.
Als $y=2$, dan $4x+9 | 7x-4$ waaruit volgt dat $4x+9 | 79$ zonder oplossingen.

* $y^2-7x=0$, dus $y^2=7x$ waaruit volgt dat $x=7a^2$ en $y=7a$ met $a\in \mathbb{N}$. Dit invullen in de gegeven vergelijking klopt inderdaad, $(7a^2,7a)$ is ook een oplossing.

De oplossingen: $(x,y)=(49,1),(11,1)(7a,0),(7a^2,7a)$ met $a\in \mathbb{N}$.