IMO 1997

Dag 1

Vraag 1

Een oneindig raster is gekleurd in een schaakbord-patroon. Voor elk koppel natuurlijke getallen $m,n$ beschouwen we een rechthoekige driehoek met zijn hoekpunten op de rasterpunten en waarvan de benen $m,n$ langs de lijnen van het raster gaan. Zij $w$ en $z$ de oppervlakte van respectievelijk het witte en het zwarte gedeelte van het raster binnen de driehoek. Definieer $f(m,n)=|z-w|$. Bereken $f(m,n)$ voor alle getallen $m$ en $n$ van dezelfde pariteit. Bewijs dat $f(m,n)\leq\max(m,n)/2$. Bewijs ook dat $f(m,n)$ niet naar boven begrensd is.

Vraag 2 Opgelost!

$\angle A$ is de kleinste hoek van $\triangle ABC$ met omgeschreven cirkel $G$. Zij $D$ een punt op de boog tussen $B$ en $C$ van $G$ die $A$ niet bevat. De middelloodlijnen van $AB$ en $AC$ snijden de rechte $AD$ in $V$ en $W$, respectievelijk. De rechten $BV$ en $CW$ snijden in een bepaald punt $T$. Bewijs dat $$|AD|=|BT|+|CT|$$

Vraag 3

Zij $x_1,\ldots,x_n$ reële getallen zodat $|x_1+\cdots+x_n|=1$ en $\displaystyle{|x_i|\leq\frac{n+1}2}$ voor alle $i$. Bewijs dat er een permutatie $\sigma$ bestaat zodat
$$\left|\sum_{i=1}^nix_{\sigma(i)}\right|\leq\frac{n+1}2.$$

Dag 2

Vraag 1

Een $n\times n$ matrix met elementen $\{1,2,\ldots,2n-1\}$ wordt een covermatrix genoemd als voor iedere $i$ de unie van de $i$-de rij en de $i$-de kolom $2n-1$ verschillende elementen bevat. Toon aan dat er geen covermatrix bestaat voor $n=1997$ en dat er oneindig veel covermatrices bestaan.

Vraag 2

Vind alle koppels $x,y\geq1$ van natuurlijke getallen die voldoen aan $x^{(y^2)}=y^x$.

Vraag 3

Voor een natuurlijk getal $n$ definiëren we met $f(n)$ het aantal voorstelling van $n$ als een som van natuurlijke machten van 2. Voorstellingen waar de volgorde van de termen verschillend is worden als gelijk beschouwd. Bijvoorbeeld $f(4)=4$ aangezien $4=4=2+2=2+1+1=1+1+1+1$. Bewijs dat
$$2^{n^2/4} < f(2^n) < 2^{n^2/2}$$