lijnstuklengtes
Opgave - IMO 1997 dag 1 vraag 2
$\angle A$ is de kleinste hoek van $\triangle ABC$ met omgeschreven cirkel $G$. Zij $D$ een punt op de boog tussen $B$ en $C$ van $G$ die $A$ niet bevat. De middelloodlijnen van $AB$ en $AC$ snijden de rechte $AD$ in $V$ en $W$, respectievelijk. De rechten $BV$ en $CW$ snijden in een bepaald punt $T$. Bewijs dat $$|AD|=|BT|+|CT|$$
- login om te reageren
Oplossing
we kunnen WLOG aannemen dat $T$ aan dezelfde kant van $AD$ ligt als $B$. Verleng $BT$ tot het $G$ een tweede keer snijdt in $E$.
Omdat $\angle ETC=\pi-\angle TVW-\angle TWV=\pi-(\angle VAB+\angle VBA)-(\angle WAC+\angle WCA)$
$=\pi-2\angle DAB-2\angle DAC=\pi-2\angle BAC=\pi-2\angle TEC$ volgt dat $\angle TCE=\pi-\angle ETC-\angle TEC=\pi-(\pi-2\angle TEC)-\angle TEC=\angle TEC$ en dus $|TE|=|TC|$.
Het volstaat dus te bewijzen $|BE|=|AD|$, of nog: $\angle EOB=\angle AOD$ met $O$ het centrum van $G$. Dit vereenvoudigt naar $\angle AOE=\angle BOD$ ofte $2\angle BAD=2\angle ABE$, en dit volgt direct uit het feit dat $V$ op de middelloodlijn van $[AB]$ ligt.