APMO 2023

Dag 1

Vraag 1

Laat $n \geq 5$ een geheel getal zijn. Beschouw $n$ vierkanten met zijden van lengte $1, 2, \dots, n$, respectievelijk. De vierkanten zijn gerangschikt in het vlak met hun zijden evenwijdig aan de $x$- en $y$-assen. Stel dat geen twee vierkanten elkaar raken, behalve mogelijk bij hun hoekpunten. Toon aan dat het mogelijk is om deze vierkanten zo te rangschikken dat elk vierkant precies twee andere vierkanten raakt.

Vraag 1

Laat $n \geq 5$ een geheel getal zijn. Beschouw $n$ vierkanten met zijden van lengte $1, 2, \dots, n$, respectievelijk. De vierkanten zijn gerangschikt in het vlak met hun zijden evenwijdig aan de $x$- en $y$-assen. Stel dat geen twee vierkanten elkaar raken, behalve mogelijk bij hun hoekpunten. Toon aan dat het mogelijk is om deze vierkanten zo te rangschikken dat elk vierkant precies twee andere vierkanten raakt.

Vraag 2

Vind alle gehele getallen $n$ die voldoen aan $n \geq 2$ en $\frac{\sigma(n)}{p(n)-1} = n$, waarbij $\sigma(n)$ de som is van alle positieve delers van $n$, en $p(n)$ de grootste priemdeling van $n$ voorstelt.

Vraag 3

Laat $ABCD$ een parallellogram zijn. Laat $W, X, Y$ en $Z$ punten zijn op respectievelijk zijden $AB, BC, CD$ en $DA$, zodanig dat de middelpunten van de ingeschreven cirkels van de driehoeken $AWZ, BXW, CYX$ en $DZY$ een parallellogram vormen. Bewijs dat $WXYZ$ een parallellogram is.

Vraag 4

Laat $c > 0$ een gegeven positief reëel getal zijn en $\mathbb{R}_{>0}$ de verzameling van alle positieve reële getallen. Vind alle functies $f \colon \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ zodanig dat

\[f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx \quad \text{voor alle } x, y \in \mathbb{R}_{>0}.\]

Vraag 5

Er zijn $n$ lijnsegmenten in het vlak, geen drie daarvan snijden elkaar op één punt en elk paar snijdt elkaar precies één keer in hun respectievelijke interieurs. Tony en zijn $2n - 1$ vrienden staan elk op een ander eindpunt van een lijnsegment. Tony wil kerstcadeautjes sturen naar elk van zijn vrienden op de volgende manier:
Ten eerste kiest hij een eindpunt van elk segment als een "sink". Vervolgens plaatst hij het cadeau bij het eindpunt van het segment waarop hij zich bevindt. Het cadeau beweegt als volgt:
- Als het zich op een lijnsegment bevindt, beweegt het in de richting van de sink.
- Wanneer het een snijpunt van twee segmenten bereikt, verandert het het lijnsegment waarop het beweegt en begint het in de richting van de nieuwe sink te bewegen.
Als het cadeau een eindpunt bereikt, kan de vriend op dat eindpunt zijn cadeau ontvangen.
Bewijs dat Tony precies $n$ van zijn $2n - 1$ vrienden cadeautjes kan sturen.