APMO 1998

Vraag 1

Zij $F$ de verzameling van alle $n$-tallen $(A_1,A_2,...,A_n)$ waar elke $A_i,i=1,...,n$ een deelverzameling is van $\{1,2,...,1998\}$. Zij $|A|$ het aantal elementen van de verzameling $A$. Vind
$\sum_{(A_1,A_2,...,A_n)\in F}|A_1\cup A_2\cup...\cup A_n|.$

Vraag 2 Opgelost!

Toon aan dat voor alle natuurlijke getallen $a$ en $b$, $(36a+b)(a+36b)$ onmogelijk een macht van 2 kan zijn.

Vraag 3

Zij $a,b,c$ positieve reële getallen. Bewijs dat
$$\left(1+\frac ab\right)\left(1+\frac bc\right)\left(1+\frac ca\right)\geq\left(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right).$$

Vraag 4 Opgelost!

Zij $ABC$ een driehoek en $D$ het voetpunt van de hoogtelijn uit $A$. Zij $E$ en $F$ op een rechte door $D$, verschillend van $D$ zelf, zodat $AE$ loodrecht staat op $BE$ en $AF$ loodrecht staat op $CF$. Zij $M$ en $N$ de middens van de lijnstukken $BC$ en $EF$ respectievelijk. Bewijs dat $AN$ loodrecht staat op $NM$.

Vraag 5 Opgelost!

Bepaal het grootste natuurlijk getal $n$ met de eigenschap dat $n$ deelbaar is door alle positieve natuurlijke getallen kleiner dan $\sqrt[3]n$.