Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 1998 › driehoek

driehoek

Tags:

Opgave - APMO 1998 vraag 4

Zij $ABC$ een driehoek en $D$ het voetpunt van de hoogtelijn uit $A$. Zij $E$ en $F$ op een rechte door $D$, verschillend van $D$ zelf, zodat $AE$ loodrecht staat op $BE$ en $AF$ loodrecht staat op $CF$. Zij $M$ en $N$ de middens van de lijnstukken $BC$ en $EF$ respectievelijk. Bewijs dat $AN$ loodrecht staat op $NM$.

Oplossing

Ingediend door Jan

Hahaha :grin:

$AFDC$ en $AEBD$ zijn cyclisch. $\angle EBA = \angle EDA = \angle FCA$. Dus de driehoeken $AEB$ en $AFC$ zijn gelijkvormig. Noem $\frac{\left|FA\right|}{\left|FC\right|} = k$

$\displaystyle \vec{NA} = \frac{\vec{EA}+\vec{FA}}{2}$
$\vec{NM} = \frac{\vec{EB}+\vec{FC}}{2} = \frac{\vec{EA}.ik+\vec{FA}.ik}{2} = ik.\vec{NA}$

$$\mathbb{QED}$$