Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 1998 › grootste natuurlijk getal

grootste natuurlijk getal

Tags:

Opgave - APMO 1998 vraag 5

Bepaal het grootste natuurlijk getal $n$ met de eigenschap dat $n$ deelbaar is door alle positieve natuurlijke getallen kleiner dan $\sqrt[3]n$.

Oplossing

Ingediend door Art

start met een zekere $n$ die aan $int(\sqrt[3]{n})=k$ voldoet. neem nu k=7, dan moet $n$ deelbaar zijn door $2^2*3*5*7=420$. het enigste $420$-voud tussen $7^3$ en $8^3$is $420$, dus $420$ voldoet als unieke oplossing voor $k=7$.

als we stellen dat er een grotere k is waarvoor de eigenschap geldt, wanneer $k>7$, impliceert dat dat $n$ deelbaar is door minstens $2^3*3*5*7=840$, maar dat is groter dan $9^3$, dus $k>8$. hieruit volgt dat $2520|n$, wat alleen kan als $k\geq 13$, wat op zijn beurt vertelt dat $360360|n$, wat enkel gaat als $k\geq 71$.

omdat we zeker weten dat $k>40$ geldt wegens het postulaat van Bertrand dat er tussen $k, k/2, k/4$ en $k/8$ altijd een priemgetal ligt groter dan die drie laatste waardes dat $n$ deelt buiten natuurlijk $2^5, 3^3$ en $5^2$. maken we het product van die factoren, krijgen we $675*\frac{k^3}{2}$. echter, $(k+1)^3$ is voor $k\geq 40$ duidelijk kleiner dan $675*\frac{k^3}{2}$, waardoor er een tegenspraak ontstaat: $n=420$ is het grootste getal dat voldoet.

Ingediend door Jeroen Van Hautte

We observeren dat enkel voor $\sqrt[3]{n}<8$ het kleinste gemene veelvoud van alle strikt positieve natuurlijke getallen kleiner dan $\sqrt[3]{n}$ kleiner is dan $n$.

Indien we deze stelling kunnen bewijzen, is het eenvoudig te vinden dat de maximale waarde voor $n$ $420$ is, gezien dat tussen $7^3$ en $8^3$ het enige veelvoud is van $3*4*5*7$, het kgv van alle getallen kleiner dan de derdewortel van $n$.

Indien $8<\sqrt[3]{n}\leq9$, dan is $n\leq729$, terwijl $n$ deelbaar moet zijn door $840$, wat duidelijk niet kan.
Indien $9<\sqrt[3]{n}\leq11$, dan is $n\leq1331$, terwijl $n$ deelbaar moet zijn door $2520$, wat duidelijk niet kan.
Indien $11<\sqrt[3]{n}\leq24$, dan is $n\leq24*576<24000$, terwijl $n$ deelbaar moet zijn door $27720$ , wat duidelijk niet kan. $(*)$

Nemen we dus $m^3$ als grootste derdemacht kleiner dan $n$. We weten dat tussen $m$ en $2m$ steeds een priemgetal ligt. Wanneer $m$ dus groter is dan $8$, is ook dit priemgetal groter dan $8$.

We merken op bij $(*)$ dat hierdoor volgt voor $m \ge 24$ geldt dat het kgv van de getallen kleiner dan $m$ minimum $8m^3$ is.

Door de priemfactor $13$ geldt dit en per inductie als het geldt voor $m$, geldt het ook voor $2m$.
Als $m^3$ < $ n$ < $8m^3$ en $n $> $24^3$ is het hiermee inderdaad bewezen dat het niet kan, aangezien $n$ deelbaar zou zijn door een getal groter dan $8m^3$, contradictie.

We hebben dus bewezen dat $n$ maximaal $420$ kan zijn.