APMO 1996

Vraag 1

Zij $ABCD$ een vierhoek met vier gelijke zijden. Zij $MN$ en $PQ$ twee lijnstukken loodrecht op de diagonaal $BD$ en zo dat de afstand tussen hen $d>BD/2$ is, met $M\in AD$, $N\in DC$, $P\in AB$ en $Q\in BC$. Toon aan dat de omtrek van zeshoek $AMNCQP$ niet afhangt van de posities van $MN$ en $PQ$, zo lang dat de afstand tussen de twee maar constant blijft.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $m,n$ twee natuurlijke getallen zodat $n\leq m$. Bewijs dat
$$2^nn!\leq\frac{(m+n)!}{(m-n)!}\leq(m^2+m)^n.$$

Vraag 3 Opgelost!

Zij $P_1=P_5,P_2=P_6,P_3=P_7,P_4$ vier punten op een cirkel en $I_i$ het midden van de ingeschreven cirkel van driehoek $P_{i+1}P_{i+2}P_{i+3}$ voor $i=1,2,3,4$. Bewijs dat $I_1I_2I_3I_4$ een rechthoek is.

Vraag 4

De Nationale Huwelijksraad wil $n$ koppels uitnodigen om 17 discussiegroepen te vormen onder de volgende voorwaarden:
(i) Alle leden uit een groep zijn van hetzelfde geslacht.
(ii) Het verschil qua grootte tussen elke twee groepen is 0 of 1.
(iii) Alle groepen hebben minimum 1 lid.
(iv) Ieder persoon behoort tot precies één groep.
Vind alle waarden $n$, $n\leq 1996$ voor dewelke dit mogelijk is. Bewijs je antwoord.

Vraag 5 Opgelost!

Zij $a,b,c$ de zijden van een driehoek. Bewijs dat
$$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$
en bepaal wanneer gelijkheid optreedt.