Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 1996 › ongelijkheid

ongelijkheid

Tags:

Opgave - APMO 1996 vraag 2

Zij $m,n$ twee natuurlijke getallen zodat $n\leq m$. Bewijs dat

$$2^nn!\leq\frac{(m+n)!}{(m-n)!}\leq(m^2+m)^n.$$

Oplossing

Ingediend door Stijn C

We tonen de twee ongelijkheden apart aan. Noteer $m=n+x$, dan volstaat het voor de eerste ongelijkheid om te bewijzen dat

$$\frac{(2n+x)}{(x)!}\ge(2n)!.$$

Dat laatste is geldig omdat als $x$ met $1$ vergroot, het linkerlid wordt vermenigvuldigd met $\frac{2n+x+1}{x+1}>1$. Het is dus duidelijk dat $x$ zo klein mogelijk moet zijn, nl. $0$ (kleiner mag niet door het gegeven dat $m\ge n$) opdat het linkerlid zo klein mogelijk zou zijn.

Tevens geldt dat

$$(2n)(2n-1)...(n+1)\ge2^n \rightarrow (2n)!\ge 2^nn!$$

Wat volgt uit "iedere factor in het linkerlid is minimum $2$", dit bewees de 1e ongelijkheid.

Deel 2 komt overeen met

$$(m-n+1)(m-n+2)...(m+n-1)(m+n)\le[m(m+1)]^n$$

Dit volgt uit de ordeongelijkheid of

$$(m-x)(m+1+x)=m(m+1)-x(x+1)\le m(m-1)$$

toe te passen voor $x \in \{0,1,...,n-1\}$ en alles te vermenigvuldigen.
Dit bewees deel twee.