Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 1996 › ongelijkheid

ongelijkheid

Tags:

Opgave - APMO 1996 vraag 5

Zij $a,b,c$ de zijden van een driehoek. Bewijs dat

$$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$

en bepaal wanneer gelijkheid optreedt.

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Laat $a=x+y$, $b=y+z$ en $c=z+x$ voor reële $x,y,z$, dan moeten we bewijzen dat $\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z} \leq \sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$. Natuurlijk zijn we klaar als we kunnen bewijzen dat $\sqrt{x+y} \geq \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2}}$. Kwadrateer om de equivalente ongelijkheid $2(x+y) \geq x+2\sqrt{xy}+y$ the krijgen, die weer equivalent is met $\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2 \geq 0$. En we zijn klaar :cool:

Ingediend door Peter

Idd. :)

$\sqrt{x+y} \geq \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2}}$

Of Jensen op $\sqrt{x}$ geeft anders meteen $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}\le \frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{2}}$.